現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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199: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/15(日) 10:03:55.55 ID:NNU+uf1a

（>>113より）
https://researchmap.jp/?action=cv_download_main&upload_id=212150
フォン・ノイマンと公理的集合論 渕野昌 28. Mai 2017
以下の文章は、 「現代思想」2013 年８月増刊号に，渕野昌，フォン・ノイマンと公理的集合論(2013), 208?223. として収録された論説である。
雑投稿／校正後の加筆訂正も含まれている。
誌掲載版では紙数の制限などのために削除した部分も再収録した。

上記を読むのに、下記が大変役に立ちました（＾＾
http://www.ivis.co.jp/text/20190619.pdf
代替集合論 （Alternative Set Theories）の調査 古賀明彦 2019年 6月 19日（水）

なお、追加でメモ貼り
https://martbm.hatenabloｇ.com/entry/20170723/1500777080
martingale & Brownian motion
2017-07-23
ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？

新装版 集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために (ブルーバックス)
作者: 竹内外史
出版社/メーカー: 講談社
発売日: 2001/05/18

現代集合論入門 (日評数学選書)
作者: 竹内外史
出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 1989/12/01

この本がいいところは、なぜ公理的集合論が「変」なのか。というか、どうしてこんなことになっているのかを、かなり細かく（つまり、啓蒙的に）書いてくれていることで、細かい証明を辿っていけば、「なるほど、こんなことになっているんだな」というのを理解してくれると思う。

ここで大事なポイントは、「これ」が「数学の基礎」として提示されているところにある。
ようするに、あまりに「人工的」な印象を受けるわけである。
もっと言えば、この公理は
強すぎる
のではないのか、という疑いが強いわけである。
なぜ、こんな公理が用意されたのか？
それは、上記の「矛盾」を回避するためであった。
つまり、いろいろと分かっている「矛盾」を回避しながら、かつ、
今ある「全て」の数学を成立させる
ための「基礎」となる公理はなんなのか、として「探された」結果として、この姿があるわけで、少しも「直感的」な理由から選ばれていないわけである。

これが「数学の基礎」と言うには、あまりに「人工的」なんじゃないのか？
という、気持ち悪さが残っているわけである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/199

233: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/16(月) 10:38:29.68 ID:Snw5PyNp

>>188
(引用開始)
１）素朴集合の元（要素）として
・大工道具セットの箱A（ノコギリ、金槌、ドライバー）
・釣り道具セットの箱B（釣り竿、釣り針、釣り糸）
・ケースに入れたノコギリ＝{ノコギリ} （一元集合とする（ノコギリはよく使うため））
・大工道具セットの箱C（金槌、ドライバーのみ）（ノコギリを出した）
(引用終り)

別の素朴集合論の例を考えてみよう
１）ある会社A社があって、事業部が３つ、第一、第二、第三
２）各事業部には、部が３つ、第一、第二、第三
３）各部には、課が３つ、第一、第二、第三
４）A社＝{第一事業部、第二事業部、第三事業部}
　以下同様に、集合で、部、課などとつづく
５）第一事業部第一部第一課の課員に、aさんというヒトがいるとする
　a∈第一事業部第一部第一課 です！
６）一方、普通は、aさんは、A社の社員でもありますから
　a∈A社 なんですよね、素朴集合論では（＾＾；

公理的集合論と（アトムのある）素朴集合論とで、∈の意味づけが、微妙に違うのかもね
もっとも、「∈の定義は？」と聞いても、
集合論では”「集合」と「属する」は「無定義用語」”らしいので（下記ご参照）
その答えは出ないようですが（＾＾；

なお、>>232 http://www.ivis.co.jp/text/20190619.pdf 代替集合論 （Alternative Set Theories）の調査 2019/6/19 古賀明彦 わかみず会用資料
も、ご参照

（>>199-200より）
https://martbm.hatenabloｇ.com/entry/20170723/1500777080
martingale & Brownian motion
2017-07-23
ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？
(抜粋)
集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。
ようするに、上記の引用にある圏論的な公理は
集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。
一見、「集合論」的な無定義用語は出現するが、それはあくまで「定義」という、用語上の簡易性から導入されているにすぎない。）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/233

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