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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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164: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/14(土) 22:34:20.92 ID:QdZ5TU5n >>163 つづき https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/ 数学基礎論サマースクール 選択公理と連続体仮説 https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf 公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクール (抜粋) P3 公理的集合論の枠組み 公理的集合論は述語論理の枠組みのもとで展開される． ・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ ・集合論の公理系： ZF やZFC など ・公理的集合論の考察対象： 遺伝的集合の集まりとそれら間の要素関係（∈-関係） ● 遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合 例： Φ，{Φ}，{Φ, {Φ, {Φ}}} ● 変数記号は遺伝的集合を指し，量化子のスコープは遺伝的集合全体． ● 自然数・実数・関数・位相空間など，数学諸概念が遺伝的集合を用いて表現 （コード）され，様々な数学が公理的集合論の枠組みの中で展開される． ● 遺伝的集合を単に集合と呼ぶ． P17 整礎的関係 R を集合X 上の二項関係とする． 基礎公理により，すべての集合X に対して， ∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y} はX 上の整礎的な二項関係． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/164
165: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/14(土) 22:37:46.37 ID:QdZ5TU5n >>164 文字化け訂正 ∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y} ↓ ∈｜ X := {(x; y?)∈ X × X | x ∈ y} なお （再度強調：「基礎公理により，すべての集合X に対して」ですよ（＾＾； ） 整礎的関係 R を集合X 上の二項関係とする． 基礎公理により，すべての集合X に対して， ∈｜ X := {(x; y?)∈ X × X | x ∈ y} はX 上の整礎的な二項関係． (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/165
167: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/14(土) 22:40:56.83 ID:VYIPOabR >>163-165 いくら書いても {}∈{{{}}} なんて正当化できませんから 残念！！！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/167
188: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/15(日) 07:31:30.80 ID:NNU+uf1a さて >>182 >XとYは集合として異なります ええ、>>181で「４）袋X≠袋Ｙ です（素朴集合論として）」と自分でも書いていますよ 理解できないようなので、もう少し例を増やします（>>181の”・・・”は省きます） １）素朴集合の元（要素）として ・大工道具セットの箱A（ノコギリ、金槌、ドライバー） ・釣り道具セットの箱B（釣り竿、釣り針、釣り糸） ・ケースに入れたノコギリ＝{ノコギリ} （一元集合とする（ノコギリはよく使うため）） ・大工道具セットの箱C（金槌、ドライバーのみ）（ノコギリを出した） ２）４例 ・集合X＝{A,B} （セットで入っている） ・集合Y＝{ノコギリ,金槌,ドライバー,釣り竿,釣り針,釣り糸} （バラバラに入っている） ・集合Z＝{A,C,{ノコギリ}} （{ノコギリ} （一元集合）として入っている） ・集合Z’＝{A,C,ノコギリ} （ノコギリが元として入っている） ３）ここで、X≠Y≠Z≠Z’です（念のため） ４）ノコギリに注目すると ・ノコギリ∈Y かつ ノコギリ∈Z’ ・ノコギリ∈{ノコギリ}⊂Z ５）もしノコギリが集合だと考えると ・ノコギリ⊂{ノコギリ}⊂Z （包含関係） よって ・ノコギリ⊂Z つまり、ノコギリはZに包含されているのです ノコギリは、集合ではなく元だったので ・ノコギリ∈Z ６）まあ、上記５）で言いたいことは ・⊂と∈とは、よく似ているってこと ・⊂と∈との違いは、∈は集合の元（要素）に適用されるが、⊂は広く集合の元（要素）以外にも適用されること ・ところが、公理的集合論では、元（要素）もまた集合なので、⊂と∈との敷居は素朴集合論より低いのです ・上記４）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです 勿論、X≠Y≠Z≠Z’です ・こう考えないと、>>164の 酒井拓史 神戸大 「整礎的関係 Rを集合X 上の二項関係 基礎公理により，すべての集合X に対して， ∈｜ X := {(x, y) ∈ X × X | x ∈ y} はX 上の整礎的な二項関係」 は理解できないでしょう （特に”すべての集合X に対して”に対し、{{{{}}}}が反例になるが、それはおかしい（>>163-164ご参照）） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/188
193: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/15(日) 08:12:51.73 ID:NNU+uf1a >>188 追加 (引用開始) ・⊂と∈とは、よく似ているってこと ・⊂と∈との違いは、∈は集合の元（要素）に適用されるが、⊂は広く集合の元（要素）以外にも適用されること ・ところが、公理的集合論では、元（要素）もまた集合なので、⊂と∈との敷居は素朴集合論より低いのです ・上記５）の「ノコギリ∈Z」のように考える方が、正解なのです (引用終り) 別の例を挙げよう（最初は素朴集合論ベースとして） １）自然数の集合N、偶数の集合N2、奇数の集合Nodd ２）集合N’＝{N2,Nodd} (偶数の集合と奇数の集合とを入れた集合) 明らかに N ＝ N2∪Nodd ≠ N’ ３）ですが、集合N’とNは似ています 例えば、ｓ＝{2,4,6}という集合は、NとN’両方に含まれます（部分集合） ４）ですが、ｓ’＝{2,3,5}は、Nには含まれますが、N’に含まれない （∵ ｓ’は偶数と奇数の混合で、偶数の集合と奇数の集合と、どちらにも含まれないので推移律不成立） ５）では、一元集合ではどうか？ {2}は、NとN’両方に含まれます（両方の部分集合） {2}⊂N ＆ {2}⊂N’ ６）さて、2（元として）ならどうか？ 明らかに、2∈N しかし、2 not∈N’なのでしょうか？ {2}⊂Nであるにも関わらず ７）素朴集合論では、些末なことなので、この程度のことはどうでも良い というか、適当で良い しかし、公理的集合論では、適当ではすまないのです 2 ∈N’と考えるのが、一番すっきりしている 2 ∈N2 かつ N2 ∈N’で、∈の推移律により、2 ∈N’と考えるべき （∵ >>164の 酒井拓史 神戸大の通り（>>188） 「基礎公理により，すべての集合X に対して・・、∈は・・整礎的な二項関係」） QED http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/193
204: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/15(日) 10:31:19.50 ID:NNU+uf1a >>200 >集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。 ”「集合」と「属する」という「無定義用語」によって”か なるほど 「属する」（∈）は、「無定義用語」（未定義用語）だったか 確かに、公理を記述するとき、どうしても、「無定義用語」（未定義用語）は避けられない それは、少ない方がいいのだが 公理的集合論では、「属する」（∈）は、「無定義用語」（未定義用語）だとすると あとは、それをどう解釈し運用するかだな そこを書いているのが、下記 >>164 酒井 拓史 神戸大学 だな（＾＾ https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf P17 整礎的関係 R を集合X 上の二項関係とする． 基礎公理により，すべての集合X に対して， ∈｜ X := {(x; y) ∈ X × X | x ∈ y} はX 上の整礎的な二項関係． (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/204
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