[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/

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140: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/14(土) 11:32:36.51 ID:VYIPOabR フォン・ノイマン宇宙 集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す V0={} V1=P(V0)={{}} V2=P(V1)={{},{{}}} V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}} 推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/140

143: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/14(土) 11:39:58.03 ID:VYIPOabR >>140 Vαはそれ自身は推移的だが、その要素の集合は推移的でない （Vαは順序数ではないから） 推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/143

145: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/14(土) 11:53:20.66 ID:QdZ5TU5n >>140 >推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる それおサルの集合論でしょ？ｗ（＾＾； Φ∈{}∈{{}}∈{{{}}} だよね だから、∈順序の推移律より、{}∈{{{}}が成立して、{{}}の要素{}が{{{}}の要素でもあるので、 「 {{}}⊂{{{}}}成立」！！ｗ よって、集合{{{}}}は推移的です あなたの主張は、>>139 の 「再帰の反復blog 2012-06-16 反復的集合観と公理的集合論」の 「整礎原理」を否定しているよな！！ｗ（＾＾； それって、ヒトの集合論とは異なるなぁ〜ｗ（＾＾； （>>139より再録） https://lemniscus.hatenabloｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7 再帰の反復blog 2012-06-16 反復的集合観と公理的集合論 (抜粋) 整礎原理 自分自身を含んでいたり包含関係が循環することがないため、「∈」について順序関係が成立することになる。 つまり包含関係「∈」に基づく「より単純な集合」←→「より複雑な集合」という相対的な位置づけを与えることができる。しかも包含関係「∈」を内側にたどっていくと必ずどこかで終わるので、「より単純な集合」←→「より複雑な集合」のうち、「より単純な集合」の方向はどこかで終点に至る。 整礎原理の成り立つ集合世界では、もっとも単純な集合から始まってだんだん複雑な集合に向かっていくという整然とした秩序が存在する (この秩序は集合の要素数の大小関係とは異なる。たとえば0∈N∈{N})。 もっとも単純な集合は、要素を何も含まない空集合Φである。空集合Φはもちろん存在してほしい。 またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/145

163: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/14(土) 22:33:45.40 ID:QdZ5TU5n >>140 >>142-143 (引用開始) フォン・ノイマン宇宙 集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す V0={} V1=P(V0)={{}} V2=P(V1)={{},{{}}} V3=P(V2)={{},{{}},{{{}}},{{},{{}}}} 推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる Vαはそれ自身は推移的だが、その要素の集合は推移的でない （Vαは順序数ではないから） 推移的でない集合{{{}}}は、V3で現れる (引用終り) おサルの集合論：（素朴集合論に似ているが） ・推移的：下記の”自然数wikipedia”の構成の前者のみ（有限順序数の構成）が、∈-関係で、推移的だという ・フォンノイマン宇宙に反例がある：下記の”自然数wikipedia”の構成の後者の構成 3 := {2} = {{{{}}}}などは推移的ではないという ヒトの集合論：（下記、公理的集合論の基礎 酒井 拓史 神戸大学 2019 年 数学基礎論サマースクールより） ・公理的集合論 ・集合論の言語L∈： 非論理記号は二項関係記号∈ のみ ・遺伝的集合： 要素もそのまた要素もすべて集合である集合 ・遺伝的集合を単に集合と呼ぶ ・整礎的関係二項関係：基礎公理により，すべての集合X に対して，「∈｜ X := {?x; y? ∈ X × X | x ∈ y}はX 上の整礎的な二項関係」 （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 (抜粋) それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 0 := {} 1 := suc(0) = {0} = {{}} 2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} } 3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } } 等々である。 このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。 また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n <= m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。 以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になる。 (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/163

221: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/15(日) 15:41:02.69 ID:NNU+uf1a >>140 (引用開始) 集合Xに対してP(X)でXのべき集合を表す V0={} V1=P(V0)={{}} V2=P(V1)={{},{{}}} (引用終り) 細かいけど、上記と下記 Richard Hammack テキスト Example 1.7 が微妙に違う ・V0={} vs P(Φ)＝{Φ} ・V1=P(V0)={{}} vs P({Φ})＝{Φ,{Φ}} ・V2=P(V1)={{},{{}}} vs P(P({Φ}))＝{Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}} はてな、はてな？ｗ（＾＾； （参考） https://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Main.pdf Book of Proof Edition 3.1 2018 Richard Hammack Department of Mathematics & Applied Mathematics Virginia Commonwealth University (抜粋) P16 Example 1.7 4.P(Φ)＝{Φ} 6.P({Φ})＝{Φ,{Φ}} 8.P(P({Φ}))＝{Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}} (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/221

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