[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/

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904: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 00:29:36.30 ID:rXxqe236 >この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は >　>>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ >この5次方程式は、二項方程式ではない x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが 1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。 一般3次方程式のガロア群はS_3だが 1の3乗根を添加してもS_3のまま。 しかし、べき根解法には1の3乗根は必要。 この話の類似が5次の場合にもあるんじゃないかな。 つまり、位数20のガロア群をもつ5次方程式は一般的には二項方程式ではないが Mara Papiyasが言うように二項方程式になるケースもある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/904

905: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 00:31:32.62 ID:rXxqe236 失礼。 Mara Papiyas氏が言うように http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/905

914: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 08:05:51.25 ID:rXxqe236 >>912 ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。 定理として書いてある 「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」 は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。 (最小多項式)≠x^n-1 です。 あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。 Q上のベクトル空間としての次元もφ(n)なので、基底の個数もφ(n)個です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/914

915: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 08:11:30.07 ID:rXxqe236 Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って 自分の頭を通して書いているなというのが分かります。 「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」 とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。 まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/915

916: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 08:25:40.83 ID:rXxqe236 何年間もガロア理論を勉強されてきて、ネット上のどこにどんな文書があったか どの本にどんな項目があったかとかの知識はありますが まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。失礼ながら。 HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して 徹底的に考えなければ、正誤の判断は付かないし、身にも付かないものだと思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/916

917: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 08:41:51.22 ID:rXxqe236 >>913 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0　の証明 S=1+ζ + ...+ζ ^n-1にζを掛けると巡回的に項がずれるが和としては不変であることが観察できる。 すなわち、S=ζS. 　(1-ζ)S=0 で、1-ζ≠0 より S=0. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/917

938: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 20:14:37.67 ID:rXxqe236 >>918 aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。 分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3. ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。 つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる （分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが 最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。 わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。 なので、Mara Papiyas氏の挙げた2項方程式は まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/938

939: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 20:16:36.81 ID:rXxqe236 >>927 最初の4次拡大がQ(ζ)/Q（ζは1の原始5乗根）と一致するかどうかなので、そんな難しい話じゃないと思いますよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/939

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