[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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755(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)11:15 ID:nHmzRvjt(1/8) AAS
>>718
>正規部分群の手前の変換σ-1・Ｈ・σ自身の理解が不正確でした
>みなさんに、教えて頂きました
>ありがとう（＾＾
変換σ-1・Ｈ・σは、共役変換というんだけど（＾＾
下記の共役類wikipediaに詳しい
（（編集されて変わることがあるので）スナップショットとして抜粋コピペするけど文字化けご容赦。原文リンク見た方が良いだろう）
省19
756(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)11:16 ID:nHmzRvjt(2/8) AAS
>>755
つづき
性質
・G の 2 元 a と b が共役ならば、同じ位数をもつ。より一般に、a についてのすべてのステートメントは b = g^-1ag についてのステートメントに翻訳できる、なぜならば写像 φ(x) = g^-1xg は G の内部自己同型だからである。
・G の元 a に対して、 {a} が共役類であることと a が中心 Z(G) に属することは同値である。
・有限群の共役類の元の数は群の位数を割り切る。より精密には共役類 aG の元の数 |aG| は a の G における中心化群 CG(a) = { g ∈ G | ga = ag } の指数 [G : CG(a)] に等しい[4]。これは共役作用に関する軌道・固定群定理による。
・a と b が共役であれば、それらのベキ ak と bk も共役である[注釈 3]。したがって k 乗をとることは共役類上の写像を与え、どの共役類がその原像にあるかを考えることができる。例えば、対称群において、type (3)(2) (3-cycle と 2-cycle) の元の平方は type (3) の元であり、それゆえ (3) の power-up 類の 1 つは類 (3)(2) である。類 (6) は別の類である。
省5
757(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)11:16 ID:nHmzRvjt(3/8) AAS
つづき
類等式
G が有限群であれば、群の任意の元 a に対して、a の共役類の元は中心化群 CG(a) の剰余類と 1 対 1 の対応にある。このことは次のことを観察することによってわかる。同じ剰余類に属する任意の 2 元 b, c （したがって中心化群 CG(a) のある元 z に対して b = zc）は a を共役するときに同じ元を生じる： b^-1ab = (zc)^-1a(zc) = c^-1z^-1azc = c^-1ac.
したがって a の共役類の元の数は G における中心化群 CG(a) の指数 [G : CG(a)] である。したがって各共役類の元の数は群の位数を割り切る。
さらに、各共役類からひとつずつ代表元 xi を選べば、共役類の非交性から |G| = 琶 |xiG| = 琶 [G : CG(xi)]がいえる。中心 Z(G) の各元はそれ自身だけを含む共役類をなすことに注意すれば、類等式 (class equation) を得る[4]：
|G| = |Z(G)| + 琶 [G : CG(xi)]
ただし和は中心に含まれない各共役類からの代表元を渡る。
省2
758(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)11:17 ID:nHmzRvjt(4/8) AAS
>>757
つづき
応用例
非自明な有限 p-群 P（つまり位数 pn の群、ただし p は素数で n > 0）を考えよう。類等式を使うと
「すべての非自明な有限 p-群は非自明な中心をもつ」
ことが証明できる[9]。
証明：P の任意の共役類の元の数は P の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 Ci の元の数もまたあるベキ pki（ただし 0 < ki < n）であることが従う。すると類等式から pn = |P| = |Z(P)| + 琶 pki となる。ゆえに p は |Z(P)| も割らなければならず、したがって |Z(P)| > 1 であることがわかる。
省10
759(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)11:17 ID:nHmzRvjt(5/8) AAS
>>758
つづき
共役作用
任意の 2 元 g, x ∈ G に対して
g.x = gxg^-1
と定義すれば、G の G 上の群作用になる。この作用の軌道は共役類であり、与えられた元の固定部分群はその元の中心化群である[4]。
同様に、G のすべての部分集合からなる集合への、あるいは G のすべての部分群からなる集合への、G の群作用を
省9
761(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)13:25 ID:nHmzRvjt(6/8) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:www.nikkei.com
プリファード・ネットワークス 深層学習の応用容易に
日経優秀製品・サービス賞
2019/2/4 13:30
リサーチャー 得居誠也氏
「なんか使いにくいよね」。深層学習のフレームワーク「Chainer（チェイナー）」を開発したきっかけは、会社で同僚と交わした何気ない雑談だった。2015年、当時27歳だった。
省6
762: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)13:26 ID:nHmzRvjt(7/8) AAS
>>760
＞> 基本的に信用できません。
＞ここ、正確には、正しい内容と間違った内容が混在している、だね。
＞まあ、当然のことで、内容が正しいか否かは己で判断して下さい、ということ。
おっちゃん、どうも、スレ主です。
フォロー、ありがとう（＾＾
763: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/09(水)13:32 ID:nHmzRvjt(8/8) AAS
>>761
youtube
得居誠也経歴（自己紹介より） 学部東大数学科→修士 東大情報系
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
得居誠也「AIを書く」ー高校生のための東京大学オープンキャンパス2017 模擬講義
706 回視聴?2018/10/24
東大TV / UTokyo TV
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