現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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417: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/22(日) 07:06:23.11 ID:dCfcIyTY

>>414-416
>> 0,1,2,3,4,5,…使うよね？
>> 同値類の集合でｗ（＾＾；
>> 0,1,2,3,4,5,…を使わないとまずいよｗ（＾＾
>使わない

コケコッコー（おれ）もレベル低いけど、おサルもほんと低レベルだよな～ｗ（＾＾
単なる同値類の集合Z/nZで終わるなら、”使わない”だろうが
剰余類環として、和・積の演算を考えるときに使うよ

（下記参考より抜粋）
１）和・積の演算を考えるとき、各剰余類に属する任意の元（これは通常の整数）に対して整数としての演算を使って定義する
２）この演算が「剰余類に対する演算」としてきちんと定義されていることは、結果（和や積）として求まる剰余類が代表元の取り方に依らないことを示すことができる
３）なお、理論的には整数の加法と異なる和であるから別の記号で表すべきであるかもしれないが、簡便さを保つために整数の和と同じ記号 "+" をそのまま使うことも多い
４）あと、3 を法とする剰余類環、この場合さらに体となり、F3 で表される
　　4 を法とする剰余類環、（4 を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 4 の有限体 F4 は存在するにも関わらず、である）
　　あたりもご参照（＾＾

つまり、単なる集合論で終わるときはいいが、代数系として剰余類環で演算を考えると、0,1,2,3,4,5,…などのZの元を使うことになるんだよね
（”各剰余類に属する任意の元”とか、”結果（和や積）として求まる剰余類が代表元の取り方に依らないことを示す”ってところなｗ）
おサルは知らなかったんでしょｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E%E7%92%B0
剰余類環
(抜粋)
剰余類に対する加法および乗法は、代表元 (representive) とも呼ばれる、各剰余類に属する任意の元（これは通常の整数）に対して整数としての加法および乗法を行い、その結果として得られる和および積の属する剰余類を対応させるものである。これは a の属する剰余類を [a] と表せば
[a]+[b]:=[a+b], [a] x [b]:=[a x b]
と表せる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/417

418: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/22(日) 07:07:35.16 ID:dCfcIyTY

>>417
つづき

ここで、この演算が「剰余類に対する演算」としてきちんと定義されていることは、
結果（和や積）として求まる剰余類が代表元の取り方に依らないこと、
すなわち、a1, b1, a2, b2 を [a1] = [b1] かつ [a2] = [b2] を満たす任意の整数とすれば、
[a1+a2]=[b1+b2], [a1 x a2]=[b1 x b2]
が成り立つことから確認できる。

3 を法とする剰余類環
法 3 に関する剰余類は
・0 :=[0]={・・・ ,-6,-3;0,3,6,9,12,・・・ }: 3 で割り切れるもの
・1 :=[1]={・・・ ,-5,-2;1,4,7,10,13,・・・ }: 3 で割って 1 余るもの
・2 :=[2]={・・・ ,-4,-1;2,5,8,11,14,・・・ }: 3 で割って 2 余るもの
の三種類である。ここでたとえば、1 + 2 を計算したいときは、4 ∈ 1 および 8 ∈ 2 で 4 + 8 = 12 ∈ 0 だから 1 + 2 = 3 とすればよい。このようにして Z/3Z = {0, 1, 2} における演算表
が得られる。(Z/3Z, +, ×) は環であり、この場合さらに体となり、F3 で表される（英語で体を意味する "field" に由来）。

4 を法とする剰余類環
もうひとつ、法 4 に関する剰余類を考えよう。Z/4Z = {0, 1, 2, 3} は
・0 ={・・・ ,-4;0,4,8,12,16,・・・ }
・1 ={・・・ ,-3;1,5,9,13,17,・・・ }
・2 ={・・・ ,-2;2,6,10,14,18,・・・ }
・{3} ={・・・ ,-1;3,7,11,15,19,・・・ }
で与えられる。この剰余類の乗法では 2 × 2 = 0 となり、2 は零因子である。
したがって、Z/4Z ＼ 0 は乗法について閉じていない。
このことから、代数系 (Z/4Z, +, ×) は（4 を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 4 の有限体 F4 は存在するにも関わらず、である）。

一般化
剰余類の概念は整数環ではないほかの環に対しても考えることができる。
イデアルの概念を定義して、イデアルを法とする剰余類を構成すれば、それらの全体は再び環を成し、環のイデアルによる剰余（類）環あるいは商環と呼ばれる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/418

420: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/22(日) 07:26:02.98 ID:dCfcIyTY

>>419　さらに追加
(>>371より引用開始)
Z/nZ = {{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}, {・・,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n,・・}, ・ ・ ・ ,{・・,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,・・}}
　↓全射（内側の{}を外すだけ）
Z 　　={・・,-2n,-n,0,n,2n,・・　, 　・・,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n,・・　, ・ ・ ・ ,　・・,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,・・}
(引用終り)

ここで、↓の上の集合で、外側の{}を外してみよう
{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}, {・・,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n,・・}, ・ ・ ・ ,{・・,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,・・}
　↓全射
{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・　, 　・・,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n,・・　, ・ ・ ・ ,　・・,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,・・}

要するに、
↓の上側は、Zの部分集合で、0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZたちになる
↓の下側は、Zそのもの
つまり、↓の上側は、Zの部分集合の集まりで、そこに属する元から、Zの元に対する自然な対応（写像）が存在する
そこで、外側の{}を復活させて、同値類の集合{0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ}とすれば

{{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}, {・・,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n,・・}, ・ ・ ・ ,{・・,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,・・}}
　↓全射
{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・　, 　・・,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,3n,・・　, ・ ・ ・ ,　・・,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,・・}
要するに、Zの部分集合、0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ達からのZに対する写像が、そのまま保存されていると考えればいいだけのことだ（＾＾

（参考）
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro2013.pdf
代数学入門 花木 章秀 信州大 2013
(抜粋)
P29
3.2 整数の合同によって定義される環
ある l ∈ Z が存在して
a - b = nl となるとき a ≡ b (mod n) と書くことにする。
このときこの関係は同値関係である。その a を含む同値類は
a + nZ = {b ∈ Z | a ≡ b (mod n)} = {a + nl | l ∈ Z}
であった。異なる同値類全体の集合は
Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ}である。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/420

423: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/22(日) 07:48:02.13 ID:dCfcIyTY

>>421 参考追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
アルティン・シュライアー理論
(抜粋)
数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin?Schreier theory) は、標数 p の体の p 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。

目次
1 アルティン・シュライアー拡大
2 アルティン・シュライアー理論
3 歴史的コメント

アルティン・シュライアー拡大
K を標数 p の体とし、a をこの体のある元とする。多項式 X^p - X + a の分解体への K の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。
b がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から p - 1 までの i に対して b + i がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。
略

アルティン・シュライアー理論
アルティン・シュライアー理論は上の事実の逆をいうものである。
略

歴史的コメント
アルティン・シュライアー型の多項式は1866年に出版された Joseph-Alfred Serret（フランス語版） の Cours d'algebre superieure の第三版の有限体についての章において既に見つかる[2]。
セレは整数 g が素数 p で割れなければ多項式 X^p - X + a は mod p で既約であること、現代的な言葉で言えば、すべての g ∈ Fp* に対して X^p - X - g は既約であること、を証明している[3]。
（注：このセレは1866年の人な（＾＾）
この結果は上のことから標数 p の体を Fp として証明できる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/423

472: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/22(日) 18:33:34.89 ID:dCfcIyTY

>>464
>そういえば安達は1には数学の質問、絶対しないな
>それって
>「1は数学のスの字も分からん白痴」
>だとおもってるからだろ？ｗ
>国文馬鹿の安達にも舐められる1　ｗｗｗｗｗｗｗ

哀れな素人さんの認識は下記ですよ
質問の回答に、コピペついてが戻ってくることが分かっているのですｗ（＾＾
スレ74 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1564659345/298-
(抜粋)
298 名前：哀れな素人[] 投稿日：2019/08/08(木)
参加者の多くがこのスレを去ったのは、スレ主のアホさと、
コピペを貼りまくるスレ主に嫌気がさしたからだ。
サル石だけは、何とかスレ主に自分のアホさを知らしめてやろうと
このスレに滞在しているが、どんなにがんばっても無理だ(笑
スレ主は自分のアホさが分るような男ではない(笑

299 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/08/08(木)
哀れな素人さん、どうもスレ主です。
>>298
>参加者の多くがこのスレを去ったのは、スレ主のアホさと、
>コピペを貼りまくるスレ主に嫌気がさしたからだ。
それでよろしいんじゃないですか
私もいま定期巡回しているのは、IUTスレのみです
他は、わけのわからない「名無し」さんどうしの議論

昔何かに書かれていたが、2chの名無しさん、大人と思っていたら小学生だったこともあったという
まさにまさにですよーｗ（＾＾；
わけわからん「名無し」さんどうしの議論など、時間と余白の無駄

>サル石だけは、何とかスレ主に自分のアホさを知らしめてやろうと
>このスレに滞在しているが、どんなにがんばっても無理だ(笑

ええ、あいつ（サル石）は、このスレに止めて、他のスレを徘徊しないようにすること
それも、このスレの役目でしょうｗ（＾＾

>>297
> 2chはコピペを貼る場所ではないのである。

なにを仰るウサギさん（＾＾
2chは、天下の落書き帳ですよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%A1%E3%82%83%E3%82%93%E3%81%AD%E3%82%8B
2ちゃんねる
(抜粋)
否定的・批判的評価
5ちゃんねるは「便所の落書き」と言われることが多々ある[56]。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/472

475: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/22(日) 18:46:51.41 ID:dCfcIyTY

>>472
>質問の回答に、コピペがついて戻ってくることが分かっているのですｗ（＾＾

まあ、下記引用ですよ
以前は、テンプレで貼っていたけど、いまは省略しているが、これはまだ生きています
かつ、自分は、５CHに書かれたことは、裏付けのないものは、信用しません

自分がどうするかというと、信用できそうなものについて、裏付けを確認します
皆様にも、これをお薦めします

私が、コピペ（と出典）を付けるのは、
自分の正しさの確認と、皆様の確認の便のためです（＾＾；

（参考）
スレ71 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/12-
12 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/06/22
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/09
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です

じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます

が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし

”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか

有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか

おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/475

494: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/09/22(日) 20:04:32.91 ID:dCfcIyTY

>>491
(引用開始)
ですから心配ご無用ですって
スレ主はもう数学板から駆除されましたからｗ
まさかこの期に及んで数学板に居座り続けるなんて図々しいマネはできないでしょうｗ
いくら恥知らずなスレ主でもｗ
(引用終り)

＜設問は＞
（>>471より抜粋）
整数環Zに合同（≡又はmod）を定義して、あるnによる同値類でｎ個の同値類が出来る
単に、Zを均等にｎ個に分けただけ
各0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZたちは、無限集合だ
そのｎ個を集めて、集合を作る
Z/nZと書くのが普通だそうだが、集合の元はたったのｎ個だから、Z/nZは有限集合だと？

「Z/nZは有限集合」と書いてある文献探して、提示してくれ
そうしたら、スレを閉じて、すっぱりと、おれは５CH数学板から去るよ（＾＾；
おっと、「Z/nZは有限集合」と書いてある”そのものずばり”だよ
（>>466は、だめだよ）
はい、どうぞ～！ｗｗ（＾＾；
(引用終り)

１）設問の重要キーワードを読み落としてはいけない
　”「Z/nZは有限集合」と書いてある文献探して、提示してくれ”
　設問の条件を外して、答案をいくら書いても、点は取れず院試なら不合格
　設問の重要キーワードには、下線かマークを付けましょうね～ｗ
２）設問 >>471 で、
　”Z/nZと書くのが普通だそうだが、集合の元はたったのｎ個だから、Z/nZは有限集合だと？”
　と書いてあるでしょ。そういう文献ではダメで、上記の１）を出せってこと

で、おサルが必死で書き始めたのが、>>473、>>487、>>483たちだ
つまり話は、全く逆で、”Z/nZと書くのが普通だそうだが、集合の元はたったのｎ個”

ここまでの文献は、すぐ見つかるよ
だが、『「Z/nZは有限集合」と書いてある”そのものずばり”』は、おそらくおサルの記憶にもないのだろう

だから、>>473、>>487、>>483などを必死で言いつのるしかないのだった
だが、>>473、>>487、>>483などは、設問で封じてあるので

設問の条件を外した答案をいくら書いても、点は取れず院試なら不合格
なのでしたｗｗ（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/494

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