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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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781: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:51:06.61 ID:aKfhohl9 >>778 ああ、これ、分り易いな（＾＾ いつも、コピペでお世話になっている再帰の反復さん https://lemniscus（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ） 再帰の反復blog (はてなブログ) 2012-05-27 方程式からガロア理論 (抜粋) 方程式の解法の話からガロア理論にたどり着くまでの要点のようなもの。 ガロア以前 ガロアが論文を書くより以前にラグランジュ、ガウス、ルフィニ、アーベルらの研究により、次のような結果が得られていた。 2次3次4次の方程式について: 提案されてきた方程式の解法はどれも解の置換の性質と密接に関係している。(ラグランジュ) 5次以上の方程式について: 解の置換の性質を調べることにより、5次以上の方程式が一般的にはべき根で解けないことが証明される。(ルフィニ、アーベル) 円周等分方程式などについて: 解の置換の性質を調べることにより、5次以上でもいくつかのタイプの方程式がべき根で解けることが証明される。(ガウス、アーベル) ここからさらに進んで、任意の方程式についての解の置換(=ガロア群)の性質を考察したのがガロアだった、という流れになる。 1.対称性(シンメトリー) 2,方程式の対称性: 2次方程式の場合 3.3次、4次方程式の場合 4.5次以上の方程式の非可解性(ルフィニ、アーベル) 5.円周等分方程式(ガウス) 6.間奏: アーベルの方程式論について 7.解の置換(ガロア群) 8.原始元の最小多項式と基本定理の証明 9.方程式の可解性 10.追記: 方程式の可解性の概要 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/781
782: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:51:30.84 ID:aKfhohl9 >>781 つづき 対称性と群の関係 方程式の解法と対称性 さらにまとめると次のようになる。 2次方程式を解くとき、ルートを取ることで対称性を崩している。 3. 3次、4次方程式の場合 3次と4次の方程式の場合についても 方程式を解くとき、べき乗根を取ることで対称性を崩している。 4. 5次以上の方程式の非可解性(ルフィニ、アーベル) 2,3,4次方程式の解法のポイントは 方程式を解くとき、べき乗根を取ることで対称性を崩している。 ということだった。 一方、5次以上の方程式が一般的には代数的に解けない理由を一言で言うと、 5次以上の方程式は、べき乗根を取ることでは崩せない対称性を持っている。 となる(これは5次以上の方程式が強い対称性を持っているというよりも、べき乗根の対称性を崩す力はそれほど強くないということだと思う)。 前に書いた「5次以上の方程式が代数的に解けないことについて」では対称性を下げていく過程を段階的に追っていき非可解性を示したけど、証明の要点となっているのは次のこと。 a^p = Aの関係があり、Aが3次循環置換(x1 x2 x3)と5次循環置換(x1 x2 x3 x4 x5)の両方で不変ならば、aもこれらの置換で不変である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/782
783: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:51:47.75 ID:aKfhohl9 >>782 つづき 7. 解の置換(ガロア群) 「5次方程式に解の公式がないこと」と「円周等分方程式がべき根で解けること」の証明はどちらも、方程式がどんな解の置換を持っているかということが重要だった。 そこでより一般的にどんな方程式にも通用する形で解の置換を定義したい。歴史的には次の2つのやり方がある。 ・単拡大(単純拡大)性にうったえて、原始元とその最小多項式を使って定義する(ガロア)。 ・体の自己同型写像として定義(デデキント)。 このうちデデキントのものの方が簡潔だしたぶん判りやすい。ただし「方程式が解けるかどうか」という視点から見ると、解が判らない状態でどうやってその写像を求めていいのかサッパリ判らないところが気持ち悪いかもしれない。 8. 原始元の最小多項式と基本定理の証明 さらに、もしも次の2つの性質 1)g(x)は重解を持たない。 2)vをどの解vkに置換することも可能である(別に言い方をすると、全てのvkがvの有理式で書ける。体の言葉でいうと、どのvkももとの体に入っている)。ガロアの定義ではこれが成り立っている場合だけを扱っている。 が成り立っている場合は 群について: 解の置換の総数(群の位数) = g(x)の次数 となる。 おおざっぱに言えば、1が成り立つのを分離拡大、2が成り立つのを正規拡大、1+2をガロア拡大と呼ぶ。なのでガロア拡大の場合は、 ・体の拡大次数 = 群の位数 が成り立つ。 ガロア理論の基本定理は一言で言えば ガロア拡大では、体(拡大体の中間体)と群(ガロア群の部分群)が1対1に対応する というもので、それはこの「ガロア拡大では、体の拡大次数=群の位数」を使って証明される。ちゃんと証明するにはいろいろ細かな補足が必要になるけど。 (基本定理における体と群の対応というのは、もう少し詳しくは ・体 → 体のどの元(数)も動かさない置換の集まり(群) ・群 → 群のどの元(置換)でも動かない数の集まり(体) がちょうど逆の関係になるというもの。 またアルティンの線形代数的な証明では、拡大次数と写像の個数の関係を、単拡大性や多項式の話を使わずに導く) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/783
784: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 07:52:07.45 ID:aKfhohl9 >>783 つづき 9. 方程式の可解性 ガロア理論の基本定理が証明されると、 ・べき乗根の添付と四則演算でどんな数が書けるか(=べき乗根を使ってどんな体の拡大が可能か) という問題が ・どんな部分群が存在するか ということに帰着するので、あとは群の性質を考察することで方程式の可解性の条件が判ることになる。 ただし実際にそれをやるのはけっこう面倒だし、そこまでたどり着く頃にはたぶんへろへろになっている。 追記: 方程式の可解性の概要 以下、方程式の可解性についての概要を追加して書いておく。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/784
785: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 08:17:28.47 ID:aKfhohl9 >>781 下記、8.4 有理式と置換の ”系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする： G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ れる．” が基本になるのだが、詳しく説明されない場合が多い 矢ヶ部本や倉田本には、詳しい（＾＾ （参考） http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/ 数学第4研究室 N. Yamauchi, Dept. of Math. 岐阜聖徳学園大学 http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap8add.pdf 8.4 有理式と置換 (抜粋) 8.4.3 有理式の有理式 定理 8.20. 2 個の有理式 f(x1, . . . , xn), φ(x1, . . . , xn) について，f を変えない Sn の置 換は φ も変えないとする． (σf) = f ⇒ σφ = φ. このとき，φ は f の有理式に表わされる． 系 8.21. f, φ を n 変数有理式とする．f を変えない Sn の置換全体を G とする： G = {σ ∈ Sn | σf = f}. G の置換を φ に作用させて得られる異なる式全体を φ = φ1, φ2, . . . , φl とする．このとき，φ1, φ2, . . . , φl の対称式は f の有理式に表わさ れる． （追加参考） http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig08.pdf 第 8 章 置換の群 http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3digchap9.pdf 第 9 章 根の有理式 http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig05.pdf 第 5 章 数体 5.3 方程式と体 5.3.5 べき根による解法 http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig04.pdf 第 4 章 4 次方程式 http://www.ha.shotoku.ac.jp/~yamauchi/alg3dig0-2.pdf 代数学 III 2017 目次 (抜粋) 5 次方程式には「解の公式」が存在しないことが証明され，次いでガロア. （Evariste Galois, 1811-1832）が一般次数の方程式について解の公式が存在するための条. 件を求めることに成功した． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/785
786: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/11(金) 08:34:56.44 ID:aKfhohl9 >>785 追加 不変式なども関係しています（＾＾ 正20 面体群というのは、５次方程式の解法で出てきます http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H16-mukai.pdf 平成16年度(第26回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成16年8月2日〜8月5日開催) 不変式の話 ?対称式と方程式から第14 問題の反例へ? 向井茂 (抜粋) 計算例（拡大正20 面体群） §7 方程式の不変式 §8 第14問題に対する永田の反例 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/786
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