現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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89: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/13(金) 08:04:42.51 ID:Ct8Lh9wH

>>84
>フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
>フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない

意味分かんねー（＾＾
”フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけ”ですよね
∵ フォン・ノイマン宇宙は、「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。 WFは通常の集合演算に関して閉じているため、ZF公理系から得られる全ての真なる命題がZF公理系においても真となることが分かる。
このため、WF内で通常の数学を展開できることが知られている。
実際、x={x}のような集合の存在はZF公理系からは独立だが、数学を展開する上でこのような集合が現れることはない。
その一方で、正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではないが、ZF公理系と他のいくつかの命題が独立であることを証明する際にその効果を発揮する。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/89

103: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/13(金) 21:40:46.51 ID:Ct8Lh9wH

>>102
”Eureka GAP”さんのPDFね～ｗ（＾＾
”Eureka GAP”さん、どこかで聞いたことがあると思ったら
過去スレで取り上げた記憶があるなー

おサルは、
１）それ、「日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です」
　て、知って引用しているかなーｗ（＾＾
２）それ、「ずいぶん前に公開した「順序数と基数」がtypoがひどすぎると指摘されていたので、GWを使って修正しました。
　内容はほとんど変わっていませんが、修正したおかげで読めるようになったと思います。
　集合論自体には興味ないけど、順序数と基数の基本的な事実だけ知りたいよーというような人が参照できるように書いてあります」
　て、知って引用しているかなーｗ（＾＾

まあ、大学教員のPDFじゃないってことは、よく認識しておいた方がいいだろうなー
そんなことも知らずに、落ちているPDFを無批判に引用したんだろうと、推測いたしますｗ（＾＾；
まあ、おサルだからなー

（参考）
ｈttps:／／eurekａgap.jimdoｆree.com/
Eureka GAP 2018/12/04
ようこそ、ここはEureka GAPのホームページです!
日本の大学を卒業後アメリカへ留学して数学科の大学院生をやっています。専門は集合論です。
2018年9月、正式に数学科の大学院生になりました。
ブログは時々更新しています。他のコンテンツは後日追加していきたいと思っています。

http:／／eurekａgap.seesaa.neｔ/article/449980546.html
GAPのブログ
PDFの墓場となるべく作られましたが、特に運営方針は定まってません．
2017年05月17日
改・順序数と基数
ご無沙汰です。
ずいぶん前に公開した「順序数と基数」がtypoがひどすぎると指摘されていたので、GWを使って修正しました。
内容はほとんど変わっていませんが、修正したおかげで読めるようになったと思います。
集合論自体には興味ないけど、順序数と基数の基本的な事実だけ知りたいよーというような人が参照できるように書いてあります。
ordinals_and_cardinals.pdf
https／／eurekａgap.up.seesaa.net/image/ordinals_and_cardinals.pdf
5/18(木) 誤植訂正

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/103

109: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/13(金) 22:06:46.55 ID:Ct8Lh9wH

>>108

つづき

圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。
大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。
これは上記の上部構造に類似している。グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。
グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。

最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。
すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。
対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。
すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。
すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。
なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。

グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。
" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。
つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。
この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/109

119: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/13(金) 23:21:51.22 ID:Ct8Lh9wH

>>118
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement
Urelement
(抜粋)
In set theory, a branch of mathematics, an urelement or ur-element (from the German prefix ur-, 'primordial') is an object that is not a set, but that may be an element of a set. Urelements are sometimes called "atoms" or "individuals."

Contents
1 Theory
2 Urelements in set theory
3 Quine atoms

Urelements in set theory
The Zermelo set theory of 1908 included urelements, and hence is a version we now call ZFA or ZFCA (i.e. ZFA with axiom of choice).[1]
It was soon realized that in the context of this and closely related axiomatic set theories, the urelements were not needed because they can easily be modeled in a set theory without urelements.[2]
Thus, standard expositions of the canonical axiomatic set theories ZF and ZFC do not mention urelements. (For an exception, see Suppes.[3])
Axiomatizations of set theory that do invoke urelements include Kripke?Platek set theory with urelements, and the variant of Von Neumann?Bernays?Godel set theory described by Mendelson.[4]
In type theory, an object of type 0 can be called an urelement; hence the name "atom."

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/119

120: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/13(金) 23:23:14.89 ID:Ct8Lh9wH

>>119

つづき

Adding urelements to the system New Foundations (NF) to produce NFU has surprising consequences.
In particular, Jensen proved[5] the consistency of NFU relative to Peano arithmetic; meanwhile, the consistency of NF relative to anything remains an open problem, pending verification of Holmes's proof of its consistency relative to ZF.
Moreover, NFU remains relatively consistent when augmented with an axiom of infinity and the axiom of choice.
Meanwhile, the negation of the axiom of choice is, curiously, an NF theorem. Holmes (1998) takes these facts as evidence that NFU is a more successful foundation for mathematics than NF.
Holmes further argues that set theory is more natural with than without urelements, since we may take as urelements the objects of any theory or of the physical universe.[6]
In finitist set theory, urelements are mapped to the lowest-level components of the target phenomenon, such as atomic constituents of a physical object or members of an organisation.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/120

124: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/09/13(金) 23:39:13.97 ID:Ct8Lh9wH

>>118 追加

まあ、ご参考
・フォン・ノイマン宇宙「整礎的集合から得られたでかい領域」
・構成可能宇宙「人間に扱える有限モデルに行き着く領域」
下記でも，見て下さい

（参考）
https://www.practmath.com/universe/
実用的な数学を
2019年4月26日 投稿者: TAKAN
宇宙 Universe
(抜粋)
目次
・議論領域「宇宙の本質に当たる概念で、より広い意味」
・グロタンディーク宇宙「集合論で作れる最大の大きさ」
・フォン・ノイマン宇宙「整礎的集合から得られたでかい領域」
・構成可能宇宙「人間に扱える有限モデルに行き着く領域」

フォン・ノイマン宇宙 Von Neumann
|| 直観でわかるものを全部集めてみました
これは『順序数』基準で作られた「宇宙」になります。
『順序数』由来なんで、かなり直観に近いです。
「順序数」で作られてるんで、
作られ方は基本的に『順序数』と一緒です。
初期値はいつもの『空集合』。
V_0=Φ
『順序数』由来なんで『宇宙 V 』はクラスになります。
それも「真のクラス」です。集合じゃありません。
ただ、その要素になる『 V_α 』は集合です。
定義自体が『整礎的集合』なんで、ちゃんと中身が全部わかります。

構成可能宇宙 Costructible
|| 人間が扱えるものだけ集めてみました
恐らく考え得る限り『最小の宇宙』がこれ。
基本は↑の「フォン・ノイマン宇宙」と同じで、
2 番目の「後者」の規則に条件が加わっています。
その制約の本質が『人間に扱えるように』という感じ。

『後者』について「フォン・ノイマン宇宙」と違う点は、
略
これでどうして人間に扱える程度になるかは、別記事で。
ちょっとどころじゃない長さになるので小分けになるかと。
雰囲気だけ伝えるとするなら、
濃度が決まってるものの内側に納まってる上で、
更には『有限』の長さで定義できることが確定している、みたいな。
（レーヴェンハイム・スコーレムの定理などが理由）
だから、人間に扱える程度の大きさになっている、みたいな感じ。
いわゆる「帰納的に定義できる」とか、そんなです。
通例では、『構成可能宇宙』は「 L 」と表されます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/124

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