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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/
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918: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 10:15:30.80 ID:CX/otP+s >>903 追加 下記元吉文男で、 既約な二項方程式x^5-a＝0のガロア群は、C_{5} 巡回群 (位数 5)です B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)では、ありません http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf [PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - 1993 RIMS, Kyoto University (抜粋) 有理数係数の 5 次の既約多項式が可解であるかどうかを、 (大部分の場合に) 有理数演 算だけで高速に判定する方法を紹介する。 1. ガロア群の計算原理 5 次の推移群は以下の 5 種類である。 ・S_{5} 対称群 (位数 120) ・A_{5} 交代群 (位数 60) ・B_{5}'メタ巡回群 (位数 20) ・B_{5} 半メタ巡回群 (位数 10) ・C_{5} 巡回群 (位数 5) ここで可解なものは、B_{5}',B_{5},C_{5} であり、 B_{5}’⊂ B_{5}⊂ C_{5} という関係にある。 そこで、方程式が可解かどうかはそのガロア群が B_{5}’ に含まれているかどうかを調べればよい。 参考文献 [1] エム・ポストニコフ、「ガロアの理論」、東京図書、 1964。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/918
919: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 10:58:25.68 ID:CX/otP+s >>914 ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。 レスありがとう (引用開始) ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。 定理として書いてある 「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」 は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。 (最小多項式)≠x^n-1 です。 あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。 Q上のベクトル空間としての次元もφ(n)なので、基底の個数もφ(n)個です。 (引用終り) ？ なんか、混乱していませんか？ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9 1の冪根 (抜粋) 自然数 n に対し、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は n 乗根として原始的 (primitive) であるという。自然数 n を固定せず、1 の原始 n 冪根あるいは 1 の原始 n 乗根として得られる数を総称し、1の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 性質 ・1 の冪根は全て、ガウス平面における単位円上にある。また概要で述べたことは 1 の n 乗根の全体が位数 n の巡回群となることを示している。 ・a を複素数とするとき、a の n 乗根を任意に一つ選んで n√a と記せば、1 の n 乗根に各々 n√a を掛けたものが複素数係数の方程式 xn ? a = 0 の根の全体となる。 ・1 の n 乗根をガウス平面上に表し、線分で結ぶと単位円に内接する正 n 角形となる。これは 1 の原始 n 乗根の一つを ξn として以下の式が成り立つことと同じである： 略 https://mathtrain.jp/njokonof1 高校数学の美しい物語 最終更新:2015/11/05 1のn乗根の導出と複素数平面 (抜粋) 定理1：1の n 乗根は複素数平面の単位円周上に等間隔で並ぶ。 定理2：1の n 乗根は全部で n 個あるが，それらの和は0である。 1のn乗根の和 次は定理2の証明です。こちらは解と係数の関係を使うだけです！ 証明 1 の n 乗根たちは方程式 z^n?1=0 の解である。 よって，解と係数の関係よりそれらの和は 0 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/919
920: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 11:01:40.79 ID:CX/otP+s >>915 ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。 レスありがとう >「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」 >とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。 >まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。 なるほど ちょっと考えてみます（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/920
921: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 11:03:48.42 ID:CX/otP+s >>916 ＞HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して >>919をどうぞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/921
922: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 11:08:14.18 ID:CX/otP+s >>917 ぱち ぱち ぱち、拍手（＾＾ その証明も、昔どこかで見た記憶が どこだったか、思い出せませんが なお、別証明ですね（>>919 高校数学の美しい物語 ご参照） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/922
923: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 11:31:21.38 ID:CX/otP+s >>919 補足 ζ=exp(2πi/n)を根とする 二項方程式 x^n-1＝0は、加約で因子（x-1）を持つので、次数は１つ下げられる だから、最小多項式の次数はｎ−１までは下がります なので、定理中で「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は」と書くと、次数が合わないですね （ｎ−１次の方程式が、ｎ個の根を持つことになりますから） だから、式を直すか、根の数を直す必要がありますね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/923
924: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 11:32:36.39 ID:CX/otP+s >>923 誤変換訂正 加約で因子（x-1）を持つので、 ↓ 可約で因子（x-1）を持つので、 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/924
928: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 17:53:35.60 ID:CX/otP+s >>927 どうもスレ主です。 ひょっとして、おっちゃんですか？ 外していら、失礼（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/928
930: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 18:50:33.23 ID:CX/otP+s >>929 ＞私はオッさんではある。 ああ、そうでしたか これは失礼しました しかし、難しいことを考えられますね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/930
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