現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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878: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/16(水) 11:37:55.07 ID:86h80x0A

めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾

円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
”クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。”
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。
クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。例えば、
√5=e^2πi/5-e^4πi/5-e^6πi/5+e^8πi/5√5 = e^2πi/5 - e^4πi/5 - e^6πi/5 + e^8πi/5
である。
この定理の名前はレオポルト・クロネッカー (Leopold Kronecker) とハインリッヒ・マルチン・ウェーバー（英語版） (Heinrich Martin Weber) に因んでいる。
体論的定式化
クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大のことばで記述することができる。
それは、有理数体 Q の有限アーベル拡大は、ある円分体の部分体であるという定理である。
つまり、Q 上のガロア群がアーベル群である代数体は、ある1のべき根を有理数体Qに添加して得られる体の部分体である。
Q のアーベル拡大 K が与えられると、K を含む最小な円分体が存在する。
この定理によって、K の導手 n を 1 の n 乗根により生成される体に K が含まれるような最小の整数 n として定義できる。
例えば、二次体の導手は、それらの判別式（英語版）の絶対値であり、これは類体論で一般化される事実である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/878

881: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/16(水) 15:17:21.67 ID:86h80x0A

>>880
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group
Multiplicative group
(抜粋)
In mathematics and group theory, the term multiplicative group refers to one of the following concepts:
・the group under multiplication of the invertible elements of a field,[1] ring, or other structure for which one of its operations is referred to as multiplication.
　In the case of a field F, the group is (F ? {0}, ?), where 0 refers to theZero element of F and the binary operation ? is the field multiplication,
・the algebraic torus GL(1).

Examples
・The multiplicative group of integers modulo n is the group under multiplication of the invertible elements of Z/nZ . When n is not prime, there are elements other thanZero that are not invertible.
・The multiplicative group of a field F}F is the set of all nonzero elements: F^x=F-{0}, under the multiplication operation.
　If F is finite of order q (for example q = p a prime, and F= Fp=Z/pZ), then the multiplicative group is cyclic: F^x ＝～ C_{q-1}.

Group scheme of roots of unity
The group scheme of n-th roots of unity is by definition the kernel of the n-power map on the multiplicative group GL(1), considered as a group scheme.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/881

882: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/16(水) 15:18:31.30 ID:86h80x0A

>>881
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_scheme
Group scheme
(抜粋)
Group schemes that are not algebraic groups play a significant role in arithmetic geometry and algebraic topology, since they come up in contexts of Galois representations and moduli problems.
The initial development of the theory of group schemes was due to Alexander Grothendieck, Michel Raynaud and Michel Demazure in the early 1960s.

Examples
・The multiplicative group Gm has the punctured affine line as its underlying scheme, and as a functor, it sends an S-scheme T to the multiplicative group of invertible global sections of the structure sheaf.
　Algebraic tori form an important class of commutative group schemes, defined either by the property of being locally on S a product of copies of Gm, or as groups of multiplicative type associated to finitely generated free abelian groups.
・For any positive integer n, the group μn is the kernel of the nth power map from Gm to itself. As a functor, it sends any S-scheme T to the group of global sections f of T such that fn = 1.
　Over an affine base such as Spec A, it is the spectrum of A[x]/(x^n?1). If n is not invertible in the base, then this scheme is not smooth. In particular, over a field of characteristic p, μp is not smooth.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/882

884: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/16(水) 16:15:37.01 ID:86h80x0A

>>883

つづき

（参考：方程式のガロア理論に役立ちそうなPDF見繕い）
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/
Kazuhiko KURANO Department of Mathematics School of Science and Technology Meiji University
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/soturon.htm
研究室の学生の卒業論文・修士論文・博士論文
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/04kurano.pdf
2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/07kurano.pdf
2007 年度卒業研究 5次方程式
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/14kurano.pdf
2014 年度卒業研究 S_6 の部分群の分類

https://mathematics-pdf.com/pdf/
MATHEMATICS.PDF よしいず
https://mathematics-pdf.com/pdf/classification_of_groups_of_small_order.pdf
小さい位数の群の分類(131KB, 13/08/19) MATHEMATICS.PDF よしいず
（注；いま見ると、これ、上記の明治大 「2004 年度卒業研究 位数 30 以下の群の分類」に似ているね。まあ、だれが書いても似たようなものかも知れない。というか、「2004 年度卒業研究」にも種本があって、お互いその種本を見ている可能性もあるな（＾＾ ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/884

885: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/10/16(水) 16:31:44.62 ID:86h80x0A

>>884 補足
＞種本があって、お互いその種本を見ている可能性もある

下記「1893 コールが位数660までの単純群を分類する」とある
たしか、1900年ころの群論の本で、後ろに位数100くらいまでの有限群のリストがついていたって話
読んだ記憶があるね。ディクソン先生の群論の本って、覚えているのだが

五味健作、鈴木通夫、原田耕一郎などに、関連の記述があるかもね
（下記外部リンクのURLを張りたいが、URLが大杉だとアク禁くらう恐れがあるので省略。自分でリンク探して飛んでくれ（＾＾ ）

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類

証明の歴史

証明のタイムライン

1893 コールが位数660までの単純群を分類する。
1901 ディクソンが、任意の有限体上の古典群（英語版）および、標数が奇数の体上のG2型の例外群を定義した。
1901 ディクソンが E6 型の例外有限単純群を導入した。
1905 ディクソンが偶数標数の体上のG2型の単純群を導入した。

外部リンク
・五味健作 「有限単純群の分類論の近況」、『数学』 (日本数学会) 第31巻第3号217?230頁、1979年。doi:10.11429/sugaku1947.31.217。
・鈴木通夫 「有限単純群の分類」、『数学』 (日本数学会) 第34巻第3号193?210頁、1982年。doi:10.11429/sugaku1947.34.193。
・原田耕一郎 「有限群論の成果と課題」、『数学』 (日本数学会) 第53巻第1号46?61頁、2001年。doi:10.11429/sugaku1947.53.46。
・ATLAS of Finite Group Representations. - 多くの有限単純群について、群の表現などの情報を集めた、検索可能なデータベース
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1568026331/885

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