[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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871(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:44 ID:OrOarbJT(2/12) AAS
>>866
ID:eqCH01Ubさん、どうも。スレ主です。
筆算でね（＾＾
出来ると思うよ、やらないけど
>>869
>面白いですね
面白いよね
省1
872: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)07:48 ID:/906omXv(2/12) AAS
>>871
馬鹿、ガロア理論を諦めるｗｗｗｗｗｗｗ
873(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:51 ID:OrOarbJT(3/12) AAS
>>859
>円分体の同型写像を具体的に構成せよ
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体は、草場公邦のP131にあるよ
そこから、手でコピータイプしても良いが
それでは、みなさん面白くないでしょｗ（＾＾；
省23
874(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:51 ID:OrOarbJT(4/12) AAS
>>873
つづき
これは、「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ということを証明するために編み出された理論であり、現代代数の先駆けとなったスゴモノである。(ちなみに誤解を最小限にするために言っておくと、何次方程式でも必ず複素数の解を持っている。
問題は、それをオートマチックに求める公式があるかどうかであり、5次以上にはそういう便利な公式がない、というのがガロアの定理なのである) 。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
省3
875(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:54 ID:OrOarbJT(5/12) AAS
>>874
つづき
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
省22
876: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:56 ID:OrOarbJT(6/12) AAS
>>875 文字化け訂正
x^5 ? 2
↓
x^5 - 2
などね
-の記号が、多分コードが違うので、目では見分けが付かず、この板では文字化けするんだ（＾＾；
877: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)07:57 ID:/906omXv(3/12) AAS
>>873-875
馬鹿は、文章を読まずにコピペして誤魔化すから
いつまでたっても書いてあることが理解できないｗ
別に草場の本なんか見なくてもネットにもあるぞ
それ読め と・に・か・く・よ・め
878(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)11:37 ID:86h80x0A(1/8) AAS
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
”クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。”
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クロネッカー・ウェーバーの定理
省15
879: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)11:38 ID:86h80x0A(2/8) AAS
>>878
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Kronecker?Weber theorem
(抜粋)
In algebraic number theory,
it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q,
省11
880(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)15:16 ID:86h80x0A(3/8) AAS
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
乗法群、Group scheme of roots of unity （＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
乗法群
(抜粋)
省9
881(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)15:17 ID:86h80x0A(4/8) AAS
>>880
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Multiplicative group
(抜粋)
In mathematics and group theory, the term multiplicative group refers to one of the following concepts:
・the group under multiplication of the invertible elements of a field,[1] ring, or other structure for which one of its operations is referred to as multiplication.
省9
882(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)15:18 ID:86h80x0A(5/8) AAS
>>881
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Group scheme
(抜粋)
Group schemes that are not algebraic groups play a significant role in arithmetic geometry and algebraic topology, since they come up in contexts of Galois representations and moduli problems.
The initial development of the theory of group schemes was due to Alexander Grothendieck, Michel Raynaud and Michel Demazure in the early 1960s.
省7
883(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)16:11 ID:86h80x0A(6/8) AAS
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
位数4の群は、確か二つしかない
位数4の巡回群とクライン群と
下記（後述）の「位数 30 以下の群の分類」
P3 より、C4, C2 ｘ C2（クライン群） の二つ
省21
884(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)16:15 ID:86h80x0A(7/8) AAS
>>883
つづき
（参考：方程式のガロア理論に役立ちそうなPDF見繕い）
外部ﾘﾝｸ:www.isc.meiji.ac.jp
Kazuhiko KURANO Department of Mathematics School of Science and Technology Meiji University
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.isc.meiji.ac.jp
研究室の学生の卒業論文・修士論文・博士論文
省14
885(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)16:31 ID:86h80x0A(8/8) AAS
>>884 補足
＞種本があって、お互いその種本を見ている可能性もある
下記「1893 コールが位数660までの単純群を分類する」とある
たしか、1900年ころの群論の本で、後ろに位数100くらいまでの有限群のリストがついていたって話
読んだ記憶があるね。ディクソン先生の群論の本って、覚えているのだが
五味健作、鈴木通夫、原田耕一郎などに、関連の記述があるかもね
（下記外部リンクのURLを張りたいが、URLが大杉だとアク禁くらう恐れがあるので省略。自分でリンク探して飛んでくれ（＾＾ ）
省16
886(1): 2019/10/16(水)18:37 ID:z0qt+ZiN(1) AAS
演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」という問題があった
「168の時はアレだけに限られる」が難しくて、次の週までに解けなかった思い出
887(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)19:22 ID:/906omXv(4/12) AAS
>>878
>めんどくさいやつだな
学習がめんどくさいなら、数学やめていいぞ
誰も貴様に数学やれなんて頼んでないから
>そうあせるな
あせって>>839で
＞１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る
省14
888: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)19:23 ID:/906omXv(5/12) AAS
>>880
>乗法群
今ごろそんなの調べてるの？ｗ
貴様、今迄いったい何やってたんだ？ｗ
>n を法とする整数の乗法群（英語版）は群Z/nZの可逆元が乗法についてなす群である。
>n が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。
「可逆」の意味、分かってるか？
省5
889(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)19:25 ID:/906omXv(6/12) AAS
>>883-885
貴様、検索もロクにできないのか？
「円分体」「同型写像」のキーワードで
google検索かけたら速攻で見つかったぞｗｗｗ
■美的数学のすすめ（はてなブログ）
円分体のガロア群
「Q(ζn)/Qの自己同型をσとすると、
省6
890(2): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)19:49 ID:/906omXv(7/12) AAS
大体、馬鹿は自分が検索した論文も読んでないだろｗ
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
891(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)20:48 ID:OrOarbJT(7/12) AAS
>>886
ID:z0qt+ZiN さん、どうも。スレ主です。
>演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」という問題があった
>「168の時はアレだけに限られる」が難しくて、次の週までに解けなかった思い出
えー
明治大 蔵野研では、位数30までで、学部卒業研究だとか
それが、演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」か
省1
892: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)21:36 ID:OrOarbJT(8/12) AAS
>>891
>「168の時はアレだけに限られる」
これか
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
168
(抜粋)
・168 は合成数であり、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84 と 168 である。
省26
893(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)21:42 ID:OrOarbJT(9/12) AAS
>>887
そうあせるな
おれは楽しんでいるんだ
円分体ねー
深いねー
円分体の深みを再認識しているんだよ
あんたの質問の答え
省3
894(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)21:57 ID:OrOarbJT(10/12) AAS
>>890
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
(引用終り)
省16
895: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)22:26 ID:/906omXv(8/12) AAS
>>893
>おれは楽しんでいるんだ
間違うことを？ｗ
>円分体の深みを再認識しているんだよ
「１の5乗根の原始根 ζ5を添加する拡大から、位数5の巡回群が出る」
とかほざいた馬鹿が？ｗｗｗｗｗｗｗ
896(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)22:31 ID:/906omXv(9/12) AAS
>>894
>二項方程式 X^5-a=0 が既約として、
>この方程式のガロア群は、位数5の巡回群になる
>と議論を単純化できる
そりゃ基礎体を円分体とした場合だろ？
基礎体がQだったらどうだい？
＞方程式のガロア群では、普通は基礎体は
省3
897(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)22:34 ID:/906omXv(10/12) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgクンマー理論
「クンマー拡大(Kummer extension)とは、
ある与えられた整数 n に対し
次の条件を満たすような
体の拡大 L/K のことを言う。
・K は、n 個の異なる1のn乗根（つまり、Xn−1 の根）を含む。
・L/K はexponent n の可換ガロア群を持つ。」
898: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)22:41 ID:/906omXv(11/12) AAS
>>894
＞その議論はちょっと違うと思うよ
＞おまえ、なんか勘違いしていると思うよ
「と思う」お前が気違い
馬鹿の上に、妄想狂か？ｗｗｗ
899: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)22:46 ID:/906omXv(12/12) AAS
X^5-1はQ上の既約多項式ではない
なぜなら以下のように因数分解できるから
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
そして円分多項式φ5は
x^4+x^3+x^2+x+1
である
900(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)23:29 ID:OrOarbJT(11/12) AAS
>>889
(引用開始)
「Q(ζn)/Qの自己同型をσとすると、
σ(ζn)は円分多項式Φn(x)=0の解となりますので、
σ(ζn)=ζn^i (i∈(Z/nZ)×)と表せます。
逆にi∈(Z/nZ)×に対してσiをσi(ζn)=ζn^iとすると
σiはQ(ζn)/Qの自己同型を導くことが分かります。」
省13
901(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)23:51 ID:OrOarbJT(12/12) AAS
>>896-897
なにを狼狽して誤魔化そうとしているんだ？？ｗ（＾＾；
>>890より
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
省30
902: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)00:04 ID:khSgay+Z(1/9) AAS
>>901
たしか、下記「第14章 可解置換群」がそうだったと思うよ
いや、書棚に本はあるけど、確認が面倒なんで、記憶で書くけど（＾＾
外部ﾘﾝｸ[html]:www.nippyo.co.jp
ガロワ理論(下)
デイヴィッド・A. コックス 著 梶原 健 訳
発刊年月 2010.09
省6
903(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)00:12 ID:khSgay+Z(2/9) AAS
>>901 追加
確か、元吉文男さん、参考文献に、エム・ポストニコフをあげていたね（＾＾
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - ?1993 RIMS, Kyoto University
外部ﾘﾝｸ:peng225.hate（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
ペンギンは空を飛ぶ
2018-03-07
省6
904(2): 2019/10/17(木)00:29 ID:rXxqe236(1/8) AAS
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
> >>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない
x^3-2=0 という方程式のQ上のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加した体上ではC_3に縮小する。
一般3次方程式のガロア群はS_3だが
1の3乗根を添加してもS_3のまま。
省4
905(1): 2019/10/17(木)00:31 ID:rXxqe236(2/8) AAS
失礼。
Mara Papiyas氏が言うように
906: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)05:27 ID:448PbhX4(1/12) AAS
>>900
>？？
貴様は肝心なところを読んでない
自己同型！ なぜ読まない？
貴様の引用したHPにもチャンと
同型写像について書かれてる
なぜ引用しない？ 馬鹿かｗ
907: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)05:31 ID:448PbhX4(2/12) AAS
>>904
1の5乗根を追加した体を基礎体としても
ガロア群がF_20となる場合がいかなるものか
についてはハイレベル数学人に任せるｗ
私の目的はあくまで馬鹿のローレベルな間違いを指摘することにあるｗ
908: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)05:35 ID:448PbhX4(3/12) AAS
馬鹿はウマに食わせるほど数学書を買っても
ロクに読みもせず、読んだとしても
結果を覚えるだけで証明の論理を追わないから
いつまでたっても数学が理解できない
悪いことは云わない 数学は諦めろ
数学書はみな売っちまえ
貴様がやるべきことは断捨離だｗ
909(2): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)06:14 ID:448PbhX4(4/12) AAS
円分拡大の自己同型
原始５乗根をζで表す
同型写像として^2をとる
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^2
ζ^2、ζ^4、ζ^6=ζ、ζ^8=ζ^3
↓^2
省22
910: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)06:21 ID:448PbhX4(5/12) AAS
些細なことですが
>>905
氏はつけなくてもいいよ
例えば数学者について述べるとき、いちいち氏はつけないが
それを無礼だと咎める人はまあいない
私は別に数学者ではないが、名前に関しては
数学の慣習に沿って語っていただいて全然かまわない
911(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:09 ID:khSgay+Z(3/9) AAS
>>904
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾
(引用開始)
>この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
> >>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
>この5次方程式は、二項方程式ではない
省28
912(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:37 ID:khSgay+Z(4/9) AAS
>>909
ぱち ぱち ぱち、拍手！
ご苦労さんｗ（＾＾；
さて、じゃおれも
(>>858より 下記”１のｎ乗根 （Joh著）”から）
「Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．」
省23
913(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)07:47 ID:khSgay+Z(5/9) AAS
>>912
＞ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0
これは、二項方程式 x^n - 1=0
で、
下記の根と係数の関係を適用すると
上記の方程式のn-1次の項が0であることから
導かれるね
省13
914(3): 2019/10/17(木)08:05 ID:rXxqe236(3/8) AAS
>>912
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
は明確に誤り。最小多項式の次数はφ(n)次なので、φ(n)個しか根を持ちえません。
(最小多項式)≠x^n-1 です。
あと、ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}が基底をなすように書いてありますが、これも素数でないnに対しては誤り。
省1
915(3): 2019/10/17(木)08:11 ID:rXxqe236(4/8) AAS
Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、スレ主さんとは違って
自分の頭を通して書いているなというのが分かります。
「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。
916(2): 2019/10/17(木)08:25 ID:rXxqe236(5/8) AAS
何年間もガロア理論を勉強されてきて、ネット上のどこにどんな文書があったか
どの本にどんな項目があったかとかの知識はありますが
まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。失礼ながら。
HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して
徹底的に考えなければ、正誤の判断は付かないし、身にも付かないものだと思います。
917(1): 2019/10/17(木)08:41 ID:rXxqe236(6/8) AAS
>>913
1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 の証明
S=1+ζ + ...+ζ ^n-1にζを掛けると巡回的に項がずれるが和としては不変であることが観察できる。
すなわち、S=ζS.
(1-ζ)S=0 で、1-ζ≠0 より S=0.
918(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)10:15 ID:CX/otP+s(1/9) AAS
>>903 追加
下記元吉文男で、
既約な二項方程式x^5-a＝0のガロア群は、C_{5} 巡回群 (位数 5)です
B_{5}'メタ巡回群 (位数 20)では、ありません
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
[PDF]5 次方程式の可解性の高速判定法 - 元吉文男 著 - 1993 RIMS, Kyoto University
(抜粋)
省13
919(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)10:58 ID:CX/otP+s(2/9) AAS
>>914
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
(引用開始)
ご参考にされてるHPは混乱してるのか、間違ったことも混じって書いてありますね。
定理として書いてある
「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は{1,ζ,ζ^2,...,ζ^{n-1}}の全てを解として持ちます．」
省29
920: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:01 ID:CX/otP+s(3/9) AAS
>>915
ID:rXxqe236さん、どうもスレ主です。
レスありがとう
>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
>まえもそうでしたが、スレ主さんにはどうも半直積の概念がないように思えます。
なるほど
省1
921: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:03 ID:CX/otP+s(4/9) AAS
>>916
＞HPなどは間違った記述も多いので、やはり自分の頭を通して
>>919をどうぞ
922: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:08 ID:CX/otP+s(5/9) AAS
>>917
ぱち ぱち ぱち、拍手（＾＾
その証明も、昔どこかで見た記憶が
どこだったか、思い出せませんが
なお、別証明ですね（>>919 高校数学の美しい物語 ご参照）
923(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:31 ID:CX/otP+s(6/9) AAS
>>919 補足
ζ=exp(2πi/n)を根とする 二項方程式 x^n-1＝0は、加約で因子（x-1）を持つので、次数は１つ下げられる
だから、最小多項式の次数はｎ−１までは下がります
なので、定理中で「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は」と書くと、次数が合わないですね
（ｎ−１次の方程式が、ｎ個の根を持つことになりますから）
だから、式を直すか、根の数を直す必要がありますね
924: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:32 ID:CX/otP+s(7/9) AAS
>>923 誤変換訂正
加約で因子（x-1）を持つので、
↓
可約で因子（x-1）を持つので、
925(1): 2019/10/17(木)12:01 ID:4+tTJiqO(1) AAS
ζ=exp(2πi/5)、a=(ζ+2)^4(ζ^2+2)、K=Q(ζ)、Lはx^5-aの分解体、PはGal(L/Q)の2-Syllow群、MはPの作用で動かないLの元全体
にしたらどうだろ？
[M:Q]=5、LはMを含む最小のガロア拡大までは正しいけど、どんなm∈M＼Qをとっても最小多項式はx^5-cの形にならないのではなかろうか？
半分勘だけど。
926(1): 2019/10/17(木)13:10 ID:fQMp07ks(1/4) AAS
>>925
これ撤回。
反礼にならないな。
ガロア群がc5とaut(c5)の半直積のケースは全部最小多項式が２項のものがとれるのかな？
927(2): 2019/10/17(木)13:54 ID:fQMp07ks(2/4) AAS
>>926
成立するかも。
Q(exp2πi/5)の類体が1を認めると割とスッキリ示せるっぽい。
しかし類対論は真剣に勉強した経験ないので自信なし。
928(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)17:53 ID:CX/otP+s(8/9) AAS
>>927
どうもスレ主です。
ひょっとして、おっちゃんですか？
外していら、失礼（＾＾；
929(1): 2019/10/17(木)18:15 ID:fQMp07ks(3/4) AAS
>>928
私はオッさんではある。
やっぱりLをx^5-(-1+√5)/2の分解体にした時むりかな？
無理である可能性をx^5-k kはKの単数の場合まで絞り込めたけど難しいね。これ。
930: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)18:50 ID:CX/otP+s(9/9) AAS
>>929
＞私はオッさんではある。
ああ、そうでしたか
これは失礼しました
しかし、難しいことを考えられますね（＾＾
931: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)18:58 ID:448PbhX4(6/12) AAS
>>914
いちいちごもっとも
>>909みたいにアケスケに書けば
1→ζ→ζ^2→…→ζ^(n-1)→ζ^n=1
みたいなナイーブな認識が
円分体のガロア群に関しては
全然見当違いだと分かる
省22
932(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:00 ID:448PbhX4(7/12) AAS
>>915
>Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、
そうですね ツッコむために勉強してます（ひでぇ）
>スレ主さんとは違って自分の頭を通して書いているな
>というのが分かります。
そうですね そうでないとツッコめませんから（ひでぇ）
>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
省10
933: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:02 ID:448PbhX4(8/12) AAS
>>916
>(スレ主は)まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。
全くおっしゃる通り
あのね、工学屋は別にガロア理論なんて知らなくたって困りませんよ
代数学の基本定理だって、結論だけ知っときゃいいｗ
「ｎ次方程式は、重解も含めて必ずｎ個の解がある」とかね
解は、数値解法でゴリゴリ求めればいい
省7
934(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:02 ID:448PbhX4(9/12) AAS
>>919
>なんか、混乱していませんか？
おまえがなｗ
ぶっちゃけ「最小多項式」が分かってないだろｗ
wikipedia
最小多項式 (体論)
「α の最小多項式は
省4
935(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:04 ID:448PbhX4(10/12) AAS
>>923
wikipediaの円分多項式のところを読め
φnを円分多項式とする
(x^12-1)
＝φ1φ2φ3φ4φ6φ12
ζ=cos(2π/12)+i*sin(2π/12)とする
φ1=(x-1) 根は１
省5
936: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:10 ID:448PbhX4(11/12) AAS
>>901
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.hyogo-u.ac.jp
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003
馬鹿は上記の論文読んでないだろ
読めば、定理4.9(p72)で貴様の主張が否定されてると分かるぞ
937: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:21 ID:448PbhX4(12/12) AAS
x^5+b=0のとき、判別式Dfは3125*b^4で、
3125は5^5だから、Δf=√Dfは、有理数になりようがない
つまり、x^5+b=0のガロア群はF20
938(1): 2019/10/17(木)20:14 ID:rXxqe236(7/8) AAS
>>918
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
省4
939(1): 2019/10/17(木)20:16 ID:rXxqe236(8/8) AAS
>>927
最初の4次拡大がQ(ζ)/Q（ζは1の原始5乗根）と一致するかどうかなので、そんな難しい話じゃないと思いますよ。
940(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)20:51 ID:khSgay+Z(6/9) AAS
>>938
＞まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
いや
ご指摘の通りです
Q上で、5次方程式の既約 ２項方程式 x^5-a＝0 のガロア群、位数20の可解群を持ちます
省1
941(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:08 ID:khSgay+Z(7/9) AAS
>>914 >>934-935
ID:rXxqe236さん、ID:448PbhX4さん、あなたたちが正しいわ
大変失礼しました。円分多項式（円周等分多項式）ですよね
草場公邦 「ガロワと方程式」P118 5.5 「円周等分多項式の既約性」
に、詳しい説明がありました
とすると、”１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ”さん 外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
ｎ＝pのときのイメージのままで書いているのかも（＾＾；
省29
942(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:13 ID:khSgay+Z(8/9) AAS
>>940 追加
巡回群については、下記が参考になるでしょう
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
943(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:50 ID:khSgay+Z(9/9) AAS
>>941 追加情報
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
講究録別冊 数理解析研究所
外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
RIMS Kokyuroku Bessatsu B50:
Study of the History of Mathematics
ed. T. Ogawa
省5
944(3): 2019/10/17(木)23:11 ID:fQMp07ks(4/4) AAS
>>939
誰かが書いてた
Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
というのが正しいのかチェックしてるんですけどそんな難しくないんですか？
まぁほとんどのそうでない可能性は潰せてるので行けそうなんですけど。
945(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)05:27 ID:yJv1enDY(1/17) AAS
>>940-941
もういいだろ
次スレはタイトルから「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから
代わりにAIとかいれるのは随意
どうせリンク張るだけなんだからｗ
946(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)05:32 ID:yJv1enDY(2/17) AAS
>>942-943
ついでにHNからも「古典ガロア理論も読む」は外せよ
貴様にガロア理論なんか語るのは到底無理だから
947: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:07 ID:yJv1enDY(3/17) AAS
貴様が次スレのタイトルとHNから
「古典ガロア理論も読む」を外すんなら、
以下の爆笑コメントはテンプレに入れなくてもいいぞ
（ていうか過去スレリンク以外わざわざテンプレしなくていい
貴様のみっともない恥晒すだけだろｗ）
>>839
＞Qにaの5つの5乗根を添加した体をKとする
省9
948: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:15 ID:yJv1enDY(4/17) AAS
次スレ名 「現代数学の系譜 よもやま雑談 78」
HN 「現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE」
テンプレ １
「この伝統あるすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。
それで宜しければ、どうぞ。
省13
949: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/18(金)06:21 ID:yJv1enDY(5/17) AAS
テンプレ 続き
>>2-4 の（このスレの常連カキコさん説明）は削除 全くの無駄ｗ
>>5-6 の 過去スレリンクは、リンク以外の説明は削除
リンクは極端にいえば、前スレだけでOK (>>1で書けるだろ）
1に書く文章だが
「このスレは、現代数学に関するよもやま雑談スレとします。」
のほうがいいな
950(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)06:28 ID:Zm+yHrIo(1/9) AAS
>>945-946
ぼくちゃん、ご苦労さん
>>915のID:rXxqe236さん、この人はレベルが高いというのは分かった
しかし、ぼくちゃん、ガロア理論が分かっていないのは、おれとそれほど変わらんよな
例えば、>>836の大失敗など。
まあ、「Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが」（>>915）と書かれて
「そうですね ツッコむために勉強してます」（>>932）と自分で書いていたけど
省5
951(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/18(金)06:38 ID:Zm+yHrIo(2/9) AAS
>>941 補足
>ラグランジュとガウスの代数方程式論の比較的考察
>高瀬正仁
>円周等分方程式の領域ではラグランジュの省察は正鵠を射ていたが,具体的に表れたものはなお
>雛形に留まっていた.根の相互関係への着目という一点においてガウスに影響を及ぼしたのは間違
>いないが,ガウスが発見した根の巡回性はラグランジュの到達した地点からあまりにも遠いところ
>にあった.それでもラグランジュはガウスが遂行したことの意味合いを理解して,書簡を送ってガウスを称讃した.
省8
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