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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/
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990: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/09(月) 23:25:19.40 ID:w2gV7wtr >>984 「数学基礎論の伝統と新しい手法:逆数学」か（＾＾ https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/32/1/32_1_3/_pdf 数学基礎論の伝統と新しい手法:逆数学 科学基礎論研究 2004 田中一之*東北大学大学院理学研究科 1 はじめに 数学全般を基礎付けるような完全な公理系が存在しないことを 1931年にGodelが示した後は,数学(の理論や命題)に どのような公理が真に必要か,あるいはどのような公 理系では不十分かという問題へ関心をシフトしていっ た。具体的な進展は,1963年のP.Cohenの結果に よって始まった。彼は,連続体仮説と選択公理がZF集 合論の公理から導けないことを証明した。1977年に は,ParisとHarringtonが,Peano算術では証明で きない有限組合せ論の真なる命題を発見した。 その後も,公理系からの独立命題に関する研究はたくさんあ るが,たとえばベクトル空間の基底の存在定理に選択 公理が真に必要であることが示されたのも漸く1984 年のことである(Blassによる)。また,巨大基数の存 在などZF集合論の枠を大きくはみ出す公理の研究も 1980年代から盛んになった。 3 Peano 算術と2階算術 Peanoの5つの公理は,現代的な意味での公理系で はない。FregeやRussel1の研究を下敷きに,第1階の 自然数論を最初に正確に定義したのはHilbertであ り,それを今日の形に整えたのはGode1である。 むかしはHilbert算術という呼び名もあったが,今日では 大概Peano算術と呼ばれている｡ Peano算術PAは第1階の自然数論であり,厳密に は乙1={+,.,0,1,<}を言語とし,等号を含む第1 階論理の上で,以下の8つの基本公理及び数学的帰納 法の公理図式Indで構成される([12]参照)｡ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/990
991: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/09(月) 23:25:49.09 ID:w2gV7wtr >>990 つづき さて,以前はPAの論理を第2階論理に拡張したも のを2階Peano算術と呼んでいたが,第2階論理は公 理化が難しいので,最近はそのような定式化はあまり 行われない。第2階論理の述語変数の代わりに自然数 の集合に関する変数を導入して,第1階の理論として 形式化したものを2階算術(secondorderarithmetic) もしくは解析(analysis)と呼ぶのが一般的である。 自然数nは単元集合{n}として扱えばよいので,自然数 の集合だけを対象とする純粋な1階理論にもなるが, ここでは自然数上を動く変数と集合変数を別々に用意 し,いわゆる2領域の1階理論として扱う｡ 最後に,このシンポジウムを企画し,筆者に標記題目 の講演と本論作成をお薦め下さった八杉満利子先生 に感謝する。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/991
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