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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/
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910: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/09(月) 13:16:58.00 ID:w2gV7wtr >>909 つづき 追伸 ・そもそも、”自然数論”の定義というか、それが何を意味するのか？ 前原氏は、狭く、ゲンツェンの1936年の意味で 「eine Zahlentheorie (純粋な数論)」で、"自然数論"なる用語によって"純粋な数論"を意味することにするとしている （なお、「わが国では通常”自然数論"とよび,欧米でも最近はPeano's arithmeticなる用語を当てるようになってきたが, 自然数論にしてもPeano's arithmeticにしも,いずれも集合論的方法を援用するペアノの自然数論を連想させるので, その意味では適切なる訳語とはいえない。」とある） ・一方、新井敏康氏は、P46 4.GentzenとAckermann で ”G.Gentzen(1936)はfirst order arithmetic, PA(Peano Arithmetic)の無矛盾性証明を得た。 ここでPAはPRAに,「任意(の自然数)」∀x,「存在」∃x を加え,更に数学的帰納法を任意の(1階の)論理式に適用できるように強化した理論である。 その証明は「弱い形のε0までの超限帰納法(infinite descent)」を除いて,完全にPRAで遂行された。” ・そして、新井敏康氏PDFでは、「5. 竹内外史以後」「6. modified Hilbert's program」「6.1. Gentzenの場合＊）」「6.2.無矛盾性証明?」 とつづく。さすれば、新井敏康氏PDFの立場は、狭くゲンツェンの1936年の意味の”自然数論"を超えて 新井敏康氏は、より高い視点から、数学基礎論を論じたものではないだろうか？ （数学基礎論が現役であることは認めるが、狭い意味の”自然数論"は、決して現役とは思わないよｗ） ＊）注：新井敏康氏PDFで 6.1. Gentzenの場合 「では何故Gentzenの結果がかつて重要なものと認識された(例p.139in[Kleene 1986])のだろうか?」の一文がある つまり、前原昭二氏PDFは、1979年当時、「Gentzenの結果がかつて重要なものと認識された」時代のPDFと読めなくもない そういう意味では、時代が進んで、前原昭二氏PDFが批判的に読まれるべきという主張なら分かる だが、>>836は、言っている意味がわからんぞ〜ｗ（＾＾ どうぞ、存分に蘊蓄語って下さい 余白が足りないなら、次スレ立てますからｗ（＾＾ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/910
911: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/09(月) 13:18:34.22 ID:w2gV7wtr >>910 つづき （参考） https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/34/2/34_2_91/_pdf/-char/en 無矛盾性証明について 新井敏康*神戸大学自然科学研究科 科学基礎論研究 2007 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E8%AB%96 数学基礎論 (抜粋) 歴史 ヒルベルトは、数学を記号によるゲームとみなして無矛盾性を証明する形式主義によるヒルベルト・プログラムを提唱したが、ゲーデルの不完全性定理によって、その実現の不可能性が示された。 また、数論を展開するのに十分な体系に見えるペアノの公理系では証明できないグッドスタインの定理など、特定の公理系では証明も反証もできない問題が数多く見いだされた。 このように一定の結論が得られた現在では、数学基礎論は本来の意味していた数学の基礎づけの活動から離れ、広義の数理論理学、特に集合論、モデル理論、証明論、計算理論等の数学の総称に変化している。 影響 また、数学を人間の精神活動から離れて、形式主義的にかつ有限の立場から検証しなおすことにより、計算機科学の基礎と発展に大きく寄与した。 たとえば、今まで自明なものとして受け入れられていた多くの数論的関数を有限の立場から考察することにより、アルゴリズムの研究に直接の影響を与えた。 プログラミング言語で必ず登場するデータ型の形式的宣言や論理構造、関数の概念は遠くは数学基礎論に由来する。ゆえに、数学基礎論で活躍したフォン・ノイマンやチューリングが後に計算機科学において先駆的な役割を果たしたのも、偶然ではない。 そのような意味で数学基礎論は単なる机上の空論ではなく、むしろコンピュータをインフラの一つとする現代社会の形成に多大な影響を与えたといえる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/911
913: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/09(月) 14:14:40.75 ID:uwfnXwUu >>910 自然数論の定義は数理論理学の教科書にありますからご覧ください 知りもせずに見当違いなことかいてもあなたが恥かくだけですよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/913
921: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/09(月) 15:48:58.70 ID:w2gV7wtr >>897 (引用開始) ＞多くの大学数学科の教程で、「自然数論」はやらないでしょう？ やりますよ http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=T0300&JWC=201602397 上記は東工大の「数理論理学」ですが ・第10回 不完全性定理（１）。算術，ゲーデル数，表現可能性。 とあります。 上記の第10回にある「算術」が自然数論のことです。 (引用終り) 笑えますｗ（＾＾ 「自然数論」の定義は？ｗ（＾＾ （>>910より）前原氏は、狭く、ゲンツェンの1936年の意味で使っていますよｗ ”ゲーデル数，表現可能性”は、ゲンツェン 1936には無いでしょ、多分（読んでないけど年代的にね） ”ゲーデル数，表現可能性”は、ゲンツェン 1936より後でしょう？（＾＾ そして、URLを開くと ”教科書 鹿島亮 『数理論理学』 朝倉書店 (ISBN: 978-4-254-11765-3) ”となっていますよ その講義は、「自然数論」ではなく、 『数理論理学』じゃないのでしょうかｗ（＾＾ 『数学基礎論』とも、表現すると思いますけどね （参考） https://www.nippyo.co.jp/shop/book/7176.html キューネン数学基礎論講義 ケネス・キューネン 著 藤田 博司 訳 日本評論社 2016 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/921
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