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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/
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620: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/02(月) 17:13:19.10 ID:7XXWjS4V >>619 つづき 形式的な定義 自然数の公理 自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものにペアノの公理があり（1891年、ジュゼッペ・ペアノ）、以下のように自然数を定義することができる。 1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。 最後の公理は、数学的帰納法を正当化するものである。また、上の公理に現れる数字は 1 だけであり、自然数 1 からすべての自然数が作り出されることを意味している。一方、この公理の "1" を "0" に置き換えれば、自然数 0, 1, 2, 3, … を作り出せる。 集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。 ・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。 無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n <= m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。 加法と乗法 加法、乗法とも (i) 0 に対する演算結果を定義し、(ii) ある自然数 b に対する演算結果を用いてその次の自然数 suc(b) に対する演算結果を定義する、と言う形式になっている。(i), (ii) をあわせることで、あらゆる自然数に対する演算結果が一意に得られることになる（数学的帰納法）。 自然数は加法について、0 を単位元とする可換モノイドになっている。また、乗法についても、1 を単位元とする可換モノイドになっている。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/620
621: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/02(月) 17:36:36.44 ID:7XXWjS4V >>620 補足 ＞自然数は加法について、0 を単位元とする可換モノイドになっている。また、乗法についても、1 を単位元とする可換モノイドになっている。 言い逃れができないようにｗ（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%89 モノイド (抜粋) 数学、とくに抽象代数学における単系（たんけい、英: monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。 定義 集合 S とその上の二項演算 ・: S × S → S が与えられ、以下の条件 を満たすならば、組 (S, ・, e) をモノイドという。 2.3 可換モノイド 演算が可換であるようなモノイドは、可換モノイド (commutative monoid) という（稀にアーベルモノイド (abelian monoid) ともいう）。可換モノイドはしばしば二項演算の記号を "+" として加法的に書かれる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0 代数的構造 代数的構造の例 ・モノイド: 単位元を持つ半群 ・群: 任意の元が逆元を持つモノイド http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/621
622: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/02(月) 17:45:22.49 ID:7XXWjS4V >>621 補足の補足 ＞言い逃れができないようにｗ（＾＾； まあ、要するに もし、>>620で構成された自然数 それは、一つずつ後者を作り続けた集合だが それがもし有限集合ならば 負数の集合を加えて、整数の集合を作ったとき 整数環にならんぜよｗ（＾＾ ∵ 演算の和（＋）や積（・）について、有限集合なら閉じないから （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0 整数環 (抜粋) 環 Z は最も簡単な整数環である[1]． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/622
624: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/02(月) 19:24:09.79 ID:kFA/TyuL >>614 > その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら， > 当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから. 初期値{0, 0, ... , 0, ... }(同値類0とする)を{1, 2, ... , n, ... }(同値類Nとする)にできるか {0, 0, ... , 0, ... } 同値類0 {1, 0, ... , 0, ... } 同値類0 ... {1, 2, ... , n, 0, 0, ... } 同値類0 {1, 2, ... , n, n+1, 0, 0, ... } 同値類0 数学的帰納法により任意の自然数nに対して数列{1, 2, ... , n, 0, 0, ... }は同値類0に属する 自然数kが定数であるときに初期値{0, 0, ... , 0, k, k+1, ... }(同値類N)であれば {0, 0, ... , 0, k, k+1, ... } 同値類N {1, 0, ... , 0, k, k+1, ... } 同値類N ... {1, 2, ... , k-1, k, k+1, ... } 同値類N (kが定数なら有限回で終わる) 数列の有限個を変えただけだと属する類は変化しないことに注目すれば 属する類に関して「情報は一切もらえない」ことはないことが分かる 数列自体に着目してしまうと項を1つ変えただけで数列が変化するので どの数列に変化するのか「情報は一切もらえない」ことになる 時枝戦略では開けずに残す箱は1つなので属する類に関して開けた箱から情報がもらえる >>622 > それは、一つずつ後者を作り続けた集合だが > それがもし有限集合ならば > 負数の集合を加えて、整数の集合を作ったとき 有限集合だから整数全体の集合も作れない >>620 >>607を見よ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/624
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