現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む76

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198: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/27(火) 09:54:26.31 ID:692AfEGD

>>197 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%86%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%BC%B5%E5%AE%9A%E7%90%86
カラテオドリの拡張定理
(抜粋)
数学の測度論におけるカラテオドリの拡張定理（カラテオドリのかくちょうていり、英: Caratheodory's extension theorem）は「与えられた集合 Ω の部分集合からなる集合環 R 上定義される任意の σ-有限測度（英語版）は、R により生成される σ-代数上の測度へと一意に拡張出来る」ということを述べた定理である。
この定理の帰結として、実数からなる区間すべてを含む空間上で定義された任意の測度は、実数全体の成す集合 R 上のボレル集合族上の測度へと拡張することができる。
これは測度論における非常に強力な結果であり、例えば、ルベーグ測度の存在の証明にも使用された。

目次
1 定理の主張
2 集合環と集合半環
2.1 定義
2.2 性質
2.3 動機

動機
測度論においては、集合環や集合半環それら自体よりも、それらにより生成される σ-代数に関心が注がれる。集合半環 S 上の前測度（例えば、スティルチェス測度）は、R(S) 上の前測度へと拡張することができるが、最終的にはカラテオドリの拡張定理を用いることにより、σ-代数上の測度へと拡張することができる。
集合環および集合半環が生成する σ-代数が等しい場合には、（少なくとも測度論においては）実際問題としてこれらの間に差異は無い。
実際には、カラテオドリの拡張定理は、環を半環に置き換えることにより、わずかに一般化することができる。

半環の定義は若干複雑なものであるようにも思われる。
次の例は、なぜそれが有用なのかを示すものである。

例
冪集合 P(R) の部分集合を、実数 a, b に対する半開区間 [a, b) 全てからなる集合族によって与える。これは集合半環であるが、集合環ではない。
また、スティルチェス測度がそれらの区間上に定義される。
この集合半環上の可算加法性の証明は、区間の可算な和集合がそれ自身も区間となるような場合のみについて考えればよいので、それほど困難なことではない。
可算加法性を、区間の任意の可算和について示すことに、カラテオドリの定理が用いられる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/198

200: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/08/27(火) 10:03:56.32 ID:692AfEGD

>>198 追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%EF%BC%9D%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%83%81%E3%82%A7%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86
ルベーグ＝スティルチェス積分
(抜粋)
ルベーグ＝スティルチェス積分は、ルベーグ＝スティルチェス測度と呼ばれる実数直線上の有界変動函数から得られる測度に関する通常のルベーグ式積分である。ルベーグ＝スティルチェス測度は正則ボレル測度であり、逆に実数直線上の任意の正則ボレル測度はルベーグ＝スティルチェス測度になる。

目次
1 定義
1.1 測度による構成
1.2 ダニエル積分による構成

測度による構成
手始めに、f が非負で g が右連続単調非減少のとき、測度 w を

と定める

右辺の下限は E の可算個の半開区間からなる被覆全体を亘ってとる。この測度をしばしば g に付随するルベーグ＝スティルチェス測度と呼ぶ[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%86%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
カラテオドリの定理
(抜粋)
数学において、コンスタンティン・カラテオドリの名にちなむカラテオドリの定理と呼ばれるものは多数ある。

・カラテオドリの定理 (等角写像)：等角写像の境界への拡張に関するもの
・カラテオドリの定理 (凸包)：ユークリッド空間内の集合の凸包に関するもの
・カラテオドリの定理 (測度論)（英語版）：測度論における外測度に関するもの
・カラテオドリの存在定理：常微分方程式の解の存在に関するもの
・カラテオドリの拡張定理：測度の拡張に関するもの
・ボレル・カラテオドリの定理（英語版）：複素解析的関数の有界性に関するもの
・カラテオドリ・ヤコビ・リーの定理（英語版）：シンプレクティックトポロジーにおけるダルブーの定理の一般化
・カラテオドリの核定理（英語版）：単葉関数の局所一様収束に対する幾何学的判定法

熱力学におけるカラテオドリの原理を、カラテオドリの定理と呼ぶこともある。熱力学第二法則の別表現で、「任意の熱平衡状態の近傍には、断熱変化では到達不可能な状態が存在する」というもの。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1566715025/200

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