[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む76 (1002ﾚｽ)
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990(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/09/09(月)23:25 ID:w2gV7wtr(36/38) AAS
>>984
「数学基礎論の伝統と新しい手法:逆数学」か（＾＾
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
数学基礎論の伝統と新しい手法:逆数学 科学基礎論研究 2004
田中一之*東北大学大学院理学研究科
1 はじめに
数学全般を基礎付けるような完全な公理系が存在しないことを
1931年にGodelが示した後は,数学(の理論や命題)に
どのような公理が真に必要か,あるいはどのような公
理系では不十分かという問題へ関心をシフトしていっ
た。具体的な進展は,1963年のP.Cohenの結果に
よって始まった。彼は,連続体仮説と選択公理がZF集
合論の公理から導けないことを証明した。1977年に
は,ParisとHarringtonが,Peano算術では証明で
きない有限組合せ論の真なる命題を発見した。
その後も,公理系からの独立命題に関する研究はたくさんあ
るが,たとえばベクトル空間の基底の存在定理に選択
公理が真に必要であることが示されたのも漸く1984
年のことである(Blassによる)。また,巨大基数の存
在などZF集合論の枠を大きくはみ出す公理の研究も
1980年代から盛んになった。
3 Peano 算術と2階算術
Peanoの5つの公理は,現代的な意味での公理系で
はない。FregeやRussel1の研究を下敷きに,第1階の
自然数論を最初に正確に定義したのはHilbertであ
り,それを今日の形に整えたのはGode1である。
むかしはHilbert算術という呼び名もあったが,今日では
大概Peano算術と呼ばれている｡
Peano算術PAは第1階の自然数論であり,厳密に
は乙1={+,.,0,1,<}を言語とし,等号を含む第1
階論理の上で,以下の8つの基本公理及び数学的帰納
法の公理図式Indで構成される([12]参照)｡
つづく
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