現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む71

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731: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/07/01(月) 17:38:30.73 ID:40q2pJBE

>>725-726
哀れな素人さん
どうもスレ主です。

>∞というのは無限という概念を表わす記号である。
>便利な記号だから使えばいいのだ。

仰る通りです
で、現代数学は、公理主義を採用します
何事も、公理と定義です

”∞というのは無限という概念を表わす記号”もその通り
”便利な記号だから使えばいいのだ”もその通りです

使うときに、記号”∞”に、何らかの定義を与えます
うまく定義すると良い、”Well-defined”などと言います

>自然数に、∞などという数はないのだ。
>そのことさえ分っていれば∞という記号を使ってもいいのである。

その通りです
で、自然数には、二通りの演算、和と積が定義されます
和と積で閉じた体系が、整数環です

多項式環との類似で言えば、「多項式には項が有限個しかない」と同様に、整数環の元は有限です
ですが、集合としては、無限集合と考えた方が便利です
（多分、有限集合としてなら、上限を考えて、都度都度上限を拡大するなどと面倒なことをすれば、同じことが出来そうですが、それ面倒なだけですから）
なので、定義として、無限集合にして扱います（＾＾

（参考）
https://kotobank.jp/word/%E5%85%AC%E7%90%86%E4%B8%BB%E7%BE%A9-63350
株式会社平凡社世界大百科事典 第２版の解説 コトバンク
こうりしゅぎ【公理主義 axiomatism】
数学における各理論は，その前提となる仮定としていくつかの命題を設定し，これらの命題(公理という)から出発して論理的に展開される厳密な演繹的体系として組み立てられるべきであるという主張。
このような主張を明確に述べ，実行したのはD.ヒルベルトであって，現代数学を支配する基本思想である。
これはギリシア以来の思想でもあり，ユ-クリッド幾何学はその典型である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
Well-defined

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0
整数環

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 がすべて零であるということ-

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/731

778: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/07/02(火) 08:06:47.50 ID:yGUGl9/Y

どうも。スレ主です。（＾＾

１）
PCとスマホ投稿使えば、二つのID使用など簡単。実際>>775は、いま私スレ主がやったｗ
いまどき、成りすましは簡単で、だれでもできる
（>>769）疑われたく無い人は、コテハン付けろ。ピエロと同一人物と疑われる人は、基本スルーします
なお、私は、自宅PCの光と、勤務先PCの光と、スマホの３つは使用可だが、
普通、スマホは使わず、二つのPCではコテハン入れて使っている

２）
で、>>774
>プレーヤー１って出題者か
>だったらそう書けばいいのに
プレーヤー１は、Sergiu Hart氏 PDF由来。>>602ご参照
Sergiu Hart氏 PDFは、常連は既知として議論している

３）
>>774
>rD（というかｒ）が尻尾の同値類における一致範囲に入っていれば、
>必然的にXDと一致しますね　それだけのことですよ
一致範囲の意味不明
よって、全体の文の意味不明

４）
>>773は、正しい。その通り

５）
>>772
>整数環の元”の個数”は有限です、というならそれは誤りだね
>>731で下記の整数環wikipediaを引用しているし
原文：多項式環との類似で言えば、「多項式には項が有限個しかない」と同様に、整数環の元は有限です
だぜ。どう曲解してんだ？ ”「多項式には項が有限個しかない」と同様に”とあるだろ？
整数環の元は有限
　↓
整数環Zの元は整数で、その絶対値は有限
と書けば、さすがに曲解は無理だろうけどね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0
整数環

６）
>>771
で、「P（XD＝rD）=1」の”=1”が、
（>>639より）
「”全事象の確率は1であるというコルモゴロフの確率の公理”に反しています”
なので、P=1が言えませんよ」ということ。だから、証明がない

７）
>>770
>お尻に火が付いている
わらえる
つまらんイチャモン付けているだけでしょｗ　>>27-29の反例構成は揺るぎもしない（＾＾

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/778

798: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/07/02(火) 15:35:40.52 ID:Zy339cWa

>>731 追加
>で、自然数には、二通りの演算、和と積が定義されます
>和と積で閉じた体系が、整数環です

整数環Zを考えると、和と積が定義されていますから
整数環Zを、偶数（2の倍数）と奇数（2の倍数＋１）に分けられます

1,2,・・・n,・・・
　↓↑
2,4,・・・2n,・・・

の対応が付きますから
集合として、Z←→2Z

これ、「デデキント無限：A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在する」（下記ご参照）
が成り立ちます。つまり、整数環Zが無限集合で、その真の部分集合たる偶数全体とZが同数（１対１対応）になる
整数環Zが無限集合であると認めた方が、すっきりしているのです
無限集合の存在を認めると、「全体が真部分集合と同数」という有限集合ではありえないことを認める必要が出てきます
1880年代にデデキントが環の概念を導入したときに、こういうことに気付いたと思います
（これを言いたいために、整数環Zを持ち出しています（＾＾；　）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0
整数環

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
5 歴史
1880年代にデデキントが環の概念を導入し[2]、1892年にヒルベルトが「数環」(Zahlring) という用語を造って「代数的数体の理論」(Die Theorie der algebraischen Zahlkorper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897.) を発表した。
ハーヴェイ・コーエンによれば、ヒルベルトは "circling directly back" と呼ばれる性質を満たす特定の環に対してこの用語を用いている[9]。
環の公理論的定義を始めて与えたのは、フレンケルで、Journal fur die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914. におけるエッセイの中で述べている[2][10]。1921年にはネーターが、彼女の記念碑的論文「環のイデアル論」において、可換環論の公理的基礎付けを初めて与えている[2]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/798

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