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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
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725: 哀れな素人 [] 2019/07/01(月) 16:53:54.66 ID:Na8Xzl1X 集合とは、われわれの直観または思考の対象で、 確定していて、互いに明確に区別されるものを、 一つの全体としてまとめたものである。 これがカントールの集合の定義であって、 この定義は完全に正しいのである。 ここに「確定していて」とあることが重要なのだ。 確定している、とは閉じている、ということであって、 一つの全体としてまとまっている、ということである。 自然数はいくらでもあるのだから、閉じていない。 一つの全体としてまとまっていない。 だから可算無限な自然数の集合は集合とはいえないのだ。 限りがあって確定していなければ集合とはいえないのだ。 ところが可算無限集合は限りがないから確定しない。 だから集合ではないのである。 フツーの人なら、なるほど、と理解する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/725
731: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/07/01(月) 17:38:30.73 ID:40q2pJBE >>725-726 哀れな素人さん どうもスレ主です。 >∞というのは無限という概念を表わす記号である。 >便利な記号だから使えばいいのだ。 仰る通りです で、現代数学は、公理主義を採用します 何事も、公理と定義です ”∞というのは無限という概念を表わす記号”もその通り ”便利な記号だから使えばいいのだ”もその通りです 使うときに、記号”∞”に、何らかの定義を与えます うまく定義すると良い、”Well-defined”などと言います >自然数に、∞などという数はないのだ。 >そのことさえ分っていれば∞という記号を使ってもいいのである。 その通りです で、自然数には、二通りの演算、和と積が定義されます 和と積で閉じた体系が、整数環です 多項式環との類似で言えば、「多項式には項が有限個しかない」と同様に、整数環の元は有限です ですが、集合としては、無限集合と考えた方が便利です （多分、有限集合としてなら、上限を考えて、都度都度上限を拡大するなどと面倒なことをすれば、同じことが出来そうですが、それ面倒なだけですから） なので、定義として、無限集合にして扱います（＾＾ （参考） https://kotobank.jp/word/%E5%85%AC%E7%90%86%E4%B8%BB%E7%BE%A9-63350 株式会社平凡社世界大百科事典 第２版の解説 コトバンク こうりしゅぎ【公理主義 axiomatism】 数学における各理論は，その前提となる仮定としていくつかの命題を設定し，これらの命題(公理という)から出発して論理的に展開される厳密な演繹的体系として組み立てられるべきであるという主張。 このような主張を明確に述べ，実行したのはD.ヒルベルトであって，現代数学を支配する基本思想である。 これはギリシア以来の思想でもあり，ユ-クリッド幾何学はその典型である。 https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined Well-defined https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0 整数環 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0 多項式環 注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 がすべて零であるということ- http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/731
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