[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/

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315: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/26(水) 17:35:16.96 ID:uIPzuKm+ ガロアが第一論文で書いている表を群の置換表現として説明してみますね。 現代的にはまず抽象群Gを考える。Gには積が定義されており、閉じている。 Gが順序対(a,b,...,c)に置換群として作用しているとする。 σ∈G を作用させたものを(a^σ,b^σ,...,c^σ)とあらわす。 これは(a,b,...,c)をσの作用によって並べ替えたものになっている。 HがGの指数2（簡単のため）の部分群のとき、Hに含まれないσをもって、G=H∪σH と分解する。 これは左剰余類分解と呼ばれる。右剰余類分解は、G=H∪Hσ. σH は当然群ではない。しかし、ガロアは (a,b,...,c)にσHを作用させた表も「群」と呼んでいる。なぜか？ σh,(h∈H)を作用させたものは a^σh=(a^σ)^h　なので、(a^σ,b^σ,...,c^σ)を基準にするとhを作用させたことと同じになる。 ガロアの表では左剰余類分解したとき(a^σ,b^σ,...,c^σ)を上に持ってくるので 結局それにHを作用させた表と同じになるのだ。（多分） 右剰余類分解ではどうか？ a^hσ=(a^σ)^σ^{-1}hσ なので、これは(a^σ,b^σ,...,c^σ) を基準にするとσ^{-1}hσを作用させたものとなって、hの作用とは非可換性の分だけ異なる。 しかしHが正規部分群であれば、全体としてはHの作用による置換群と一致する。 第一論文に正規部分群のことがちゃんと書いてあったか？ 確かガロアの遺言には書いてあったと思う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/315

323: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 17:58:13.02 ID:XqfquCJJ >>315-317 ID:uIPzuKm+さん どうもスレ主です。 あなたの書いていることも 全く正しい 左剰余類分解と右剰余類分解の一致は 第一論文の中ではなく 確か、シュバリエへの最後の手紙中で触れらていましたね（下記） （参考） https://plaza.rakuten.co.jp/azabird/diary/201001130000/ 2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる） | キャットデイズ (抜粋) 　Ｇの夢より 　Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。 　群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは 　　Ｇ = H + HS + HS' + ･･･ と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また 　　Ｇ = H + TH + T'H + ･･･ と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。 　この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。 (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/323

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