現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む71

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293: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/26(水) 07:35:25.69 ID:gzRimqjp

>>282 補足

http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
Sn (n = 3, 4, 5) の部分群の分類
明治大学理工学部数学科
赤沼 浩之 堀部 昌裕 若杉 瞳 2009 年 2 月 25 日

この中で、P4
”定理 1.1 (バーンサイドの定理) 位数が (p^a)(q^b)  (p,q は異なる素数) の群は可解群である。
この定理により、位数が異なる３つの素数で割り切れない群は可解群であることがわかる。
よって S3、S4 の部分群はすべて可解群であり、S5 の部分群で可解群である可能性があるものは、位数 30、60、120 の群である。
逆に、D(A5) = A5 であるから、確かに、A5 と S5 は可解群ではない。”

ここ記述が不正確であり、間違っているね

１）
位数が異なる３つの素数で割り切れない群は可解群であることがわかる。
　↓
位数が異なる3つ以上の素因数を含まない群は可解群であることがわかる。
だね（不正確）
∵ >>249より
・群が可解にならないためには、以下の条件を満たす必要があることが分かった。
　１）位数が偶数であること。
　２）位数を素因数分解したときに相異なる3つ以上の素因数が含まれ、かつそのうち少なくとも1つは指数が2以上になること。
だから
あと、蛇足だが、p,q が奇素数なら、位数 (p^a)(q^b)は奇数になるので、位数が奇数の場合：Feit-Thompsonの定理 により、可解

２）
S5 の部分群で可解群である可能性があるものは、位数 30、60、120 の群である。
　↓
S5 の自明でない部分群で、位数20の群が可解群である。しかし、位数20の群は、正規部分群ではない。位数 30の部分群は存在しない。60の群は対称群A5である
でしょうね（＾＾

３）
”逆に、D(A5) = A5 であるから、確かに、A5 と S5 は可解群ではない。”
ここ、「A5 と S5 は可解群ではない」の理由付けをしたかったみたいだね
だが、”可解群の定義＝正規列を持つ” から説き起こせば、正確に書けたろう

追記：P5 ”Sn の交換子群 D(Sn) ”とあるので、”D(A5) = A5”は交換子群の話（D(A5) の定義を最初に書かないと（＾＾ ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/293

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