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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
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276: １３２人目の素数さん [] 2019/06/25(火) 22:56:24.81 ID:KSCnHF8F ブルーバックスの中村亨の「ガロアの群論」の中に、 120の順列の対称群を60×2の交代群に分けた順列の 表が載っている。 その表で僕は上のことを確かめた。 5×4の順列のうち、半分の5×2の順列は交代群Ａに、 残りの半分の5×2の順列は交代群Ｂに入っている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/276
280: 哀れな素人 [] 2019/06/25(火) 23:27:19.96 ID:KSCnHF8F 僕が>>276に書いたようなことを おそらくこのスレの誰も知らなかっただろうと思う。 そんなことを確かめた者はいないと思うのだ。 なぜなら大学の群論の授業では そんなことは教えないと思うからだ。 しかし第一論文を読んでガロアが挙げている表を知っている者なら どうなっているか確かめただろうと思う。 ここに、大学の授業で群論を学んだだけの者と 実際にガロアの論文を読んだ者との違いが現れる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/280
285: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 00:02:58.68 ID:gzRimqjp >>275 どうも。スレ主です。 ああ、細かく考えてないけど、ぱっと見それ良さそう 考えてみて（＾＾ >>276 (引用開始) その表で僕は上のことを確かめた。 5×4の順列のうち、半分の5×2の順列は交代群Ａに、 残りの半分の5×2の順列は交代群Ｂに入っている。 (引用終り) ああ、そうなんか とすると、私の勘違いかな（＾＾； 直積 C5*C2 ⊂ A5 直積 C5*C2*C2 ⊂ S5 ってことか〜（＾＾； すまん 確かに、>>284にアホ書いたけど、A5が指数 2 の部分群で、S5全体を考えるとC2の積が取れるわな、なるほど（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/285
291: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 06:44:00.79 ID:gzRimqjp >>284 訂正（全面書き直し） （>>276のご指摘により） >>273 >そもそもスレ主が問題のガロア群をA_pの部分群と考える理由が分からない >言えるのはS_pの部分群というだけでしょ。（理由がなければ） 対称群Spと交代群Apとの関係は、下記の用語で言えば、Apが指数2の部分群であり、正規部分群だからです 交代群Apの中で、可解な部分群を探せば、その方が位数が小さい分簡単だし、それで十分だから 交代群Apの中で、可解な部分群が無ければ、探索範囲を対称群Spに広げても無しでしょう （証明は考えてないけど、おもいつくであろう（ガロア語録より）（＾＾； ） なお、交代群Apの中に可解な部分群が見つかれば、 それをGsと名付けると Gs*C2 が、対称群Spの中の可解な部分群になります（ここにC2は位数２の巡回群で、”*”は直積を表わす） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4 部分群 (抜粋) 剰余類とラグランジュの定理 G に含まれるすべての a について aH = Ha であるとき、 H を正規部分群と言う。 指数 2 の部分群は必ず正規部分群である （実際、部分群 H の指数が 2 であるということは、H に関する左剰余類の全体も右剰余類の全体もともに、部分群 H とその補集合で尽くされる）。 より一般に、有限群 G の位数の約数の最小の素数 p に対して、指数 p の部分群は（存在すれば）正規である。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/291
292: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 07:03:22.29 ID:gzRimqjp >>282 訂正 （>>276のご指摘により） ２）下記S5の部分群で、位数30、40の部分群は存在せず、位数20の部分群は、A5の最大位数の部分群である ↓ ２）下記S5の部分群で、位数30、40の部分群は存在せず、位数10の部分群はA5中の最大位数の部分群で可解、よって位数20の部分群がS5中で最大位数の可解な部分群である（>>291ご参照） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/292
294: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 07:43:34.99 ID:gzRimqjp 落ち穂拾い（＾＾ >>268 >5次ならしらみつぶしで列挙すれば ガロアがそんな反エレガントな方法で考えてはいないことくらいお分かりでしょう 笑 >>276 ブルーバックスの中村亨の「ガロアの群論」の中に、 120の順列の対称群を60×2の交代群に分けた順列の 表が載っている。 (引用終り) ・ガロアも、ブルーバックスの120の順列みたいなのを作っていたと思うよ ・実際、私も、120の順列を作った。いまどきだから、エクセルで。そこからのコピペを、このガロアスレの初期にした記憶がある ・そうそう、120の順列ね。コーシー流の２行の置換記法でなく、ガロア流の１行記法でね（この話も書いたかな） でも、なんかID:/5rcVv/mさん、レベル高いから嬉しいね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/294
305: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 14:11:05.67 ID:XqfquCJJ >>276 (引用開始) ブルーバックスの中村亨の「ガロアの群論」の中に、 120の順列の対称群を60×2の交代群に分けた順列の 表が載っている。 5×4の順列のうち、半分の5×2の順列は交代群Ａに、 残りの半分の5×2の順列は交代群Ｂに入っている。 (引用終わり) なるほど、中村亨先生は、ガロア原論文に結構忠実に解説しているのかも（＾＾ （現代数学の視点では、交代群AとBという書き方はしませんね むしろ、コーシー流なのかジョルダン流なのか知りませんが、偶置換と奇置換を強調します その方が、置換群としては、分かり易いのかも（対称群Sn、交代群Anの説明も楽だしｗ） しかし、５次の方程式のガロア群を調べるのには、1行で済ませるガロア記法が便利で見通しが良いのですが（＾＾； ） 上記ブルーバックスは、書店でざっと目を通したのですが、 分かり易いと思ったのですが いまさら、ブルーバックスと思って、買わなかった まあ、皆さんも、図書館ででも、見ておいてください 私も、書店か図書館で、再度目についたら、見ておきます（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/305
310: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 15:43:01.57 ID:XqfquCJJ >>308 哀れな素人さん どうもスレ主です。 (引用開始) スレ主よ、交代群ＡとかＢというのは、 僕が説明のために勝手に名付けただけで、 中村亨の本の原文にはそんなことは書いてない（笑 (引用終わり) はあ、>>276 ID:KSCnHF8Fさんも ”ブルーバックスの中村亨の「ガロアの群論」の中に、 5×4の順列のうち、半分の5×2の順列は交代群Ａに、 残りの半分の5×2の順列は交代群Ｂに入っている。” と書かれていたので、これ一応是としました（＾＾ ＞どちらも正規部分群と見なせるはずだ。 ＞ちなみに交代群Ａ、Ｂも正規部分群のはずである。 現代数学の”正規部分群”の定義は、 そこは、ちょっと違うみたいですが その話は、きっとだれかがしてくれるでしょう（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/310
311: 哀れな素人 [] 2019/06/26(水) 16:15:01.26 ID:FYwW6/uc スレ主よ、>>276は僕だ(笑 名前を入れるのを忘れただけ(笑 正規部分群というのも、 実はそれほどよく分っているわけではないが、 >どちらも正規部分群と見なせる。 >ちなみに交代群Ａ、Ｂも正規部分群。 のはずである(笑 交代群Ａ、Ｂのどちらを正規部分群と見なそうと勝手で、 Ａを正規部分群と見なせばＢが剰余類で、 Ｂを正規部分群と見なせばＡが剰余類、 ただそれだけのことではないのか(笑 交代群Ａは正規部分群だが、Ｂは正規部分群ではない、 というようなことではないと思うのだ、よく知らないが(笑 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/311
314: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 17:31:40.84 ID:XqfquCJJ >>311 哀れな素人さん、どうもスレ主です。 ＞スレ主よ、>>276は僕だ(笑 ＞名前を入れるのを忘れただけ(笑 ああ、そうでしたか（＾＾； ＞>どちらも正規部分群と見なせる。 ＞>ちなみに交代群Ａ、Ｂも正規部分群。 ＞のはずである(笑 現代数学の視点では、交代群Ａn（偶置換）のみが、正規部分郡です しかし、ガロア記法の視点は、Ｂも同じ群と見ているのかも知れません つまり、>>304に書いたように、 B側で ａｃｅｂｄ ａｄｂｅｃ ｃｅｂｄａ ｄｂｅｃａ ｅｂｄａｃ ｂｅｃａｄ ｂｄａｃｅ ｅｃａｄｂ ｄａｃｅｂ ｃａｄｂｅ で、 ａｃｅｂｄをベースに、 ａｃｅｂｄ ↓ ａｃｅｂｄ 恒等置換と見ると ｃｅｂｄａなどは ａｃｅｂｄ→12345 と数字で置き換えると a→1、c→2、e→3、b→4、d→5ですから ｃｅｂｄａ→23451となります これは、A側で ａｂｃｄｅ ｂｃｄｅａ の二つの間で、 ａｂｃｄｅ→12345 と数字で置き換えたとき ｂｃｄｅａ→23451となることと完全に対応します ガロアはそういう風に見ていたと思います ガロア論文の記述全体を斟酌すれば、そう考えると”つじつまが合う”ところが多い（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/314
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