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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
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275: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 22:52:09.52 ID:/5rcVv/m 標数0の基礎体k上のp次既約方程式をf(x)=0 としますね。 f(x)の分解体をKとすると、K/kはガロア拡大。 ガロア群Gal(K/k)=Gとして、Gのf(x)のp個の根への作用から Gのp次の置換表現が得られる。 この条件から分かるのは、GはS_pの部分群（と同型） Gはp個の根に推移的に作用していなければならない（方程式の既約性より） f(x)=0の根の一つαとすると Gal(K/k(α))はGの部分群で、αを動かさないGの元の全体と一致する。 2個以上の根であっても同様。 2個の根α,βを添加したとき方程式が解けるということは 2個の根を動かさない元は単位元だけということと同値。 したがって （置換表現においてどの2個を選んでも）それら2個を固定するGの元が単位元だけ⇔Gが可解群 を証明すればいいと思う（多分） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/275
277: 哀れな素人 [] 2019/06/25(火) 23:10:10.98 ID:KSCnHF8F >>275 君が書いていることは一般の難解な説明と同じである（笑 半分は真相に迫っているが、いまいち意味不明だ。 実は三森氏もそこまでは理解しているのだ。 しかし本当に理解していないから、変な解説に走っている（笑 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/277
285: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 00:02:58.68 ID:gzRimqjp >>275 どうも。スレ主です。 ああ、細かく考えてないけど、ぱっと見それ良さそう 考えてみて（＾＾ >>276 (引用開始) その表で僕は上のことを確かめた。 5×4の順列のうち、半分の5×2の順列は交代群Ａに、 残りの半分の5×2の順列は交代群Ｂに入っている。 (引用終り) ああ、そうなんか とすると、私の勘違いかな（＾＾； 直積 C5*C2 ⊂ A5 直積 C5*C2*C2 ⊂ S5 ってことか〜（＾＾； すまん 確かに、>>284にアホ書いたけど、A5が指数 2 の部分群で、S5全体を考えるとC2の積が取れるわな、なるほど（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/285
317: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/26(水) 17:42:50.57 ID:uIPzuKm+ まず、「ガロア群」の定義はデデキント流（ガロア拡大体K/kのk自己同型群と定義）の方が合理的だろう。 するとガロアが書いているものは、その「置換表現」だということになる。 「素数次の既約方程式において、根の任意の２つが分かれば、他はそれから有理的に導かれる」 というガロアの掲げた条件は、>>275で分かったが、ガロア群が次数pのフロベニウス群であるという条件そのものである。（フロベニウス群の定義より） するとスレ主が挙げた >>225のLEMMA (1.1.1)にあるように、これが可解群であることは完全に群論の世界で証明できる。 >>225の論文は、そのようなガロア群を持つQ上の素数次数方程式を外から見える条件で特徴付ける（或いは具体的に構成する）ものであり、直接ガロア第一論文の延長線上にあるものなのだろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/317
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