現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む71

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246: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/25(火) 10:10:22.77 ID:vAlAkd25

>>243
哀れな素人さん、どうもスレ主です。

私の問題意識は、下記の再録の通りです
要するに、「現在の有限群論などの高い視点（含む シローの定理）から、すっきり第八節ができないか」というもので
なお、5次方程式に限れば、というか、既存群論知識と数値実験で、下記”群が可解でないための位数の条件を炙り出す - ペンギンは空を飛ぶ”が面白い（＾＾

http://peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/22/143833
群が可解でないための位数の条件を炙り出す - ペンギンは空を飛ぶ 2017-09-22

記（参考）
スレ70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/785
>しかし第八節がどうも理解できなかったの

まあ、易しい説明も難しいので、難しくいうと
１）下記のシローの定理を使うのが、数学の筋としては一番すっきりしていると思います
２）p=5に限って説明します
３）５次方程式の一般の場合、ガロア群はＳ５（5次対称群）で位数120.。これはすぐＡ５（5次対称群）に落とせて、位数60
４）さて、５次方程式の特殊の場合で可解になるのは、２項方程式 x^5＝a で、一つの根はx＝a^(1/5) （当然だが、a^(1/5)は有理数ではないとする）
　この場合、位数5の巡回群になる（ここらは、群論の初歩で、ガロアも当然知っていた）
５）問題は、Ａ５（5次対称群）位数60の部分群で、これを群Bと名付けると、群B⊃C5（位数5の巡回群）で、最大の群は何か？
　つまり、繰り返すが、Ａ５の部分郡かつC5（位数5の巡回群）を含む、最大の群Bは何か？
６）これを、結論を言えば、5次では>>714になる
　あとは、一般の素数ｐでどうなるかですね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
シローの定理 (Sylow theorems)
(抜粋)
素数 p に対し、群 G のシロー p-部分群とは、G の極大 p-部分群である、つまり、p-群である（任意の元の位数が p の冪である）であるような G の部分群であって、G の他のどんな p-部分群の真部分群でないようなものである。

シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。シローの定理は有限群 G の位数の任意の素因数 p に対して G のシロー p 部分群が存在するというものである。
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/246

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