[過去ﾛｸﾞ]
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
上
下
前次
1-
新
通常表示
512ﾊﾞｲﾄ分割
ﾚｽ栞
抽出解除
必死ﾁｪｯｶｰ(本家)
(べ)
自ID
ﾚｽ栞
あぼーん
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索
歴削→次ｽﾚ
栞削→次ｽﾚ
過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
315: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/26(水) 17:35:16.96 ID:uIPzuKm+ ガロアが第一論文で書いている表を群の置換表現として説明してみますね。 現代的にはまず抽象群Gを考える。Gには積が定義されており、閉じている。 Gが順序対(a,b,...,c)に置換群として作用しているとする。 σ∈G を作用させたものを(a^σ,b^σ,...,c^σ)とあらわす。 これは(a,b,...,c)をσの作用によって並べ替えたものになっている。 HがGの指数2（簡単のため）の部分群のとき、Hに含まれないσをもって、G=H∪σH と分解する。 これは左剰余類分解と呼ばれる。右剰余類分解は、G=H∪Hσ. σH は当然群ではない。しかし、ガロアは (a,b,...,c)にσHを作用させた表も「群」と呼んでいる。なぜか？ σh,(h∈H)を作用させたものは a^σh=(a^σ)^h なので、(a^σ,b^σ,...,c^σ)を基準にするとhを作用させたことと同じになる。 ガロアの表では左剰余類分解したとき(a^σ,b^σ,...,c^σ)を上に持ってくるので 結局それにHを作用させた表と同じになるのだ。（多分） 右剰余類分解ではどうか？ a^hσ=(a^σ)^σ^{-1}hσ なので、これは(a^σ,b^σ,...,c^σ) を基準にするとσ^{-1}hσを作用させたものとなって、hの作用とは非可換性の分だけ異なる。 しかしHが正規部分群であれば、全体としてはHの作用による置換群と一致する。 第一論文に正規部分群のことがちゃんと書いてあったか？ 確かガロアの遺言には書いてあったと思う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/315
316: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/26(水) 17:36:39.76 ID:uIPzuKm+ >>313 正規部分群の概念がなぜ必要かというと 剰余群G/Hを考える必要があるからですよ。 Hが正規部分群でなければ、G/Hをうまく定義できません。 体で言うと、中間体が基礎体のガロア拡大にはならないということです。 ガロア理論の解説を書くのに正規部分群の概念がないと おそらく致命的に誤った結論に導かれると思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/316
317: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/26(水) 17:42:50.57 ID:uIPzuKm+ まず、「ガロア群」の定義はデデキント流（ガロア拡大体K/kのk自己同型群と定義）の方が合理的だろう。 するとガロアが書いているものは、その「置換表現」だということになる。 「素数次の既約方程式において、根の任意の２つが分かれば、他はそれから有理的に導かれる」 というガロアの掲げた条件は、>>275で分かったが、ガロア群が次数pのフロベニウス群であるという条件そのものである。（フロベニウス群の定義より） するとスレ主が挙げた >>225のLEMMA (1.1.1)にあるように、これが可解群であることは完全に群論の世界で証明できる。 >>225の論文は、そのようなガロア群を持つQ上の素数次数方程式を外から見える条件で特徴付ける（或いは具体的に構成する）ものであり、直接ガロア第一論文の延長線上にあるものなのだろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/317
319: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/26(水) 17:45:17.32 ID:uIPzuKm+ 現代的に見れば、方程式がべき根で解けるかどうかなど、どうでもいい話だと思わなくもない。 群として「可解群」というのは逆に面白くなく、面白い非可換単純群をガロア群として持つ方程式を調べたいという問題意識もありうる。 ガロアも可解かどうかがそんなに重要と思っていたかどうか？ 彼としては、自分の新しい方法を使って、こんな問題も扱えるということを示したかったのだろうと個人的には思う。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/319
ﾒﾓ帳
(0/65535文字)
上
下
前次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
ｽﾚ情報
赤ﾚｽ抽出
画像ﾚｽ抽出
歴の未読ｽﾚ
AAｻﾑﾈｲﾙ
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.031s