[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)
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315(1): 2019/06/26(水)17:35 ID:uIPzuKm+(1/4) AAS
ガロアが第一論文で書いている表を群の置換表現として説明してみますね。
現代的にはまず抽象群Gを考える。Gには積が定義されており、閉じている。
Gが順序対(a,b,...,c)に置換群として作用しているとする。
σ∈G を作用させたものを(a^σ,b^σ,...,c^σ)とあらわす。
これは(a,b,...,c)をσの作用によって並べ替えたものになっている。
HがGの指数2（簡単のため）の部分群のとき、Hに含まれないσをもって、G=H∪σH と分解する。
これは左剰余類分解と呼ばれる。右剰余類分解は、G=H∪Hσ.
省12
316(2): 2019/06/26(水)17:36 ID:uIPzuKm+(2/4) AAS
>>313
正規部分群の概念がなぜ必要かというと
剰余群G/Hを考える必要があるからですよ。
Hが正規部分群でなければ、G/Hをうまく定義できません。
体で言うと、中間体が基礎体のガロア拡大にはならないということです。
ガロア理論の解説を書くのに正規部分群の概念がないと
おそらく致命的に誤った結論に導かれると思います。
317(2): 2019/06/26(水)17:42 ID:uIPzuKm+(3/4) AAS
まず、「ガロア群」の定義はデデキント流（ガロア拡大体K/kのk自己同型群と定義）の方が合理的だろう。
するとガロアが書いているものは、その「置換表現」だということになる。
「素数次の既約方程式において、根の任意の２つが分かれば、他はそれから有理的に導かれる」
というガロアの掲げた条件は、>>275で分かったが、ガロア群が次数pのフロベニウス群であるという条件そのものである。（フロベニウス群の定義より）
するとスレ主が挙げた
>>225のLEMMA (1.1.1)にあるように、これが可解群であることは完全に群論の世界で証明できる。
>>225の論文は、そのようなガロア群を持つQ上の素数次数方程式を外から見える条件で特徴付ける（或いは具体的に構成する）ものであり、直接ガロア第一論文の延長線上にあるものなのだろう。
319: 2019/06/26(水)17:45 ID:uIPzuKm+(4/4) AAS
現代的に見れば、方程式がべき根で解けるかどうかなど、どうでもいい話だと思わなくもない。
群として「可解群」というのは逆に面白くなく、面白い非可換単純群をガロア群として持つ方程式を調べたいという問題意識もありうる。
ガロアも可解かどうかがそんなに重要と思っていたかどうか？
彼としては、自分の新しい方法を使って、こんな問題も扱えるということを示したかったのだろうと個人的には思う。
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