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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
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298: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 09:46:12.92 ID:XqfquCJJ こんなバカ板のバカすれに粘着しているのが、バカの証明でしょｗ（＾＾ そんなヒマがあれば、確率過程論を読みましょう〜！ 時枝不成立が分かりますから（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/298
299: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 10:12:09.41 ID:XqfquCJJ メモ http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/06/29/002109 tsujimotterのノートブック 2014-06-29 リーマンの素数公式を可視化する (抜粋) 《リーマンの素数公式》 を可視化するブラウザアプリを作りました。 面白いから使ってみてね。 解説もあるよ（以下ずっと続きます）。 略 解説のまとめ 長くなってきたので、解説編の部分だけいったんまとめます。 《リーマンの素数公式》 は、《主要項》 と無限個の 《振動項》 の和で構成されています。 まず 《主要項》 は、素数階段の上を通過するように個数関数を精度よく近似します。次に 《振動項》 を加えていくことで、ギザギザした階段の形状に少しずつ近づきます。最終的には収束して、個数関数に厳密に一致するのです。 振動項は、ゼータ関数の 《非自明な零点》 の実軸対称な組にそれぞれ対応してるのでした。 《非自明な零点》 の 《クリティカルストリップ》 上の配置のパターンが、個数関数のギザギザな階段パターンを決めているのです。 要するに、《リーマンの素数公式》 は「素数の分布」を「ゼータ関数の 《非自明な零点》 の分布」という、まったく別の概念に対応づける「魔法の公式」だったわけです。 零点の性質がわかれば、素数のことがわかる。 素数の分布は未だわからないことだらけですが、ゼータ関数の零点にはよく知られた際立った性質があります。 「 《非自明な零点》 は 《クリティカルストリップ》 上にのみ存在する」というものです。残念ながら、この性質は未証明ですが、もし正しければ素数公式を通して「素数の分布は偏っていない」ことが保証される訳です。 http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/120132 tsujimotterのノートブック 2014-04-08 ガウスの素数定理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/299
300: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 10:37:20.65 ID:XqfquCJJ >>294 補足 >>5次ならしらみつぶしで列挙すれば >ガロアがそんな反エレガントな方法で考えてはいないことくらいお分かりでしょう 笑 矢ケ部 巌先生の”数III方式ガロアの理論―アイデアの変遷を追って”に書いてあったが 「足場を見せない論文はあっても、足場のない数学はない」みたいこと 決して勘違いしなようにね いかに論文がエレガントに汗ひとつかかずしたように見せても（下記ガウスご参照）、”足場のない数学はない”ってこと （それは、ガウスの日記を見れば分かる。その一端は、高木「近世数学史談」にある） https://bookmeter.com/books/294774 数III方式ガロアの理論―アイデアの変遷を追って 矢ケ部 巌 まつど@理工 ちょくちょく表れるギャグが地味に面白い。再読したい本。 http://femingway.com/?p=2038 FEMINGWAY 数理エッセイ 理系こぼれ話 第11話 足場を見せてはいけない 201103 (抜粋) ここでは、ガウスのもう一つの数学観を紹介してみたいと思います。 ガウスは終始、「建物が完成したあかつきは、足場を見せてはいけない」と周りに言っていたそうです。 この数学スタイルこそ、完全主義とともに彼の後輩数学者たちを悩ませた要因だったのです。 思考プロセスが明かされないものですから、数学者がガウスの数学を理解するには、間に解説する数学者が必要だったみたいです。 整数論がその端的な例のようです。 ガウスから二世代後輩でやはり同国ドイツの一流の数学者であったクロネッカーの下の言がよく、この辺の情況を物語っています。 “整数論考究”における発表の仕方は、ガウスの仕事全般におけると同様にユークリッド的である。 彼は定理を設定し、それを証明する。 その際、彼をその結果に導いた考え方の手順のあらゆる痕跡を勤勉に抹殺する。 彼の仕事が長い間理解されず、後世においてそれが十分な影響と評価を得るまでには、ルジューヌ・ディリクレの努力と研究が必要であったという事実は、ガウスのこのひとりよがりなやりかたに、その理由を求めなければならない。 (ガウスの生涯 東京図書より引用) http://femingway.com/?page_id=7 原田義明 プロフィール http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/300
301: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 11:25:27.81 ID:XqfquCJJ >>254 追加 ＞なるほどね。下記を読むと、Frobenius群にも、長い歴史と深い内容があるわけだね 検索： Frobenius group G solvable でヒット ”Nagoya mathematical journal”か https://www.researchgate.net/publication/38352648_Families_of_solvable_Frobenius_subgroups_in_finite_groups Families of solvable Frobenius subgroups in finite groups Article (PDF Available)?in?Nagoya mathematical journal 165 ・ March 2002?with?29 Reads Abstract We introduce the notion of abelian system on a finite group G, as a particular case of the recently defined notion of kernel system (see this Journal, September 2001). Using a famous result of Suzuki on CN-groups, we determine all finite groups with abelian systems. Except for some degenerate cases, they turn out to be special linear group of rank 2 over fields of characteristic 2 or Suzuki groups. Our ideas were heavily influenced by [1] and [8]. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/301
304: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 13:57:24.97 ID:XqfquCJJ >>302 哀れな素人さん、どうもスレ主です。 ＞閑古鳥が鳴いているようだから ご心配なく。サイコパスでキチガイのさる石＝ピエロが居なくなれば、平穏で良いですね 哀れな素人さんご存知でしょうが、キチガイのさる石も、すっかり落ちぶれましたねｗ（＾＾ 哀れな素人さんがここのスレに来られたころは、まだ、さる石を応援する人も居ましたが、いまあいつはバカが露呈して孤立しています (引用開始)交代群Ａ： ａｂｃｄｅ ａｅｄｃｂ ｂｃｄｅａ ｅｄｃｂａ ｃｄｅａｂ ｄｃｂａｅ ｄｅａｂｃ ｃｂａｅｄ ｅａｂｃｄ ｂａｅｄｃ (引用終わり) 右の列に注目すると、a→b→ｃ→ｄ→eの5位巡回ですね 右の列から左の列に移るには、互換の積（b,e）（c,d）を右の列に掛ければ良い そして、（b,e）（c,d）を二回施すと、元に戻るので｛（b,e）（c,d）｝^2=e （単位元）で、位数２の巡回群 なので、上記は、C5とC2の直積からなる位数10の巡回群 (引用開始)B側： ａｃｅｂｄ ａｄｂｅｃ ｃｅｂｄａ ｄｂｅｃａ ｅｂｄａｃ ｂｅｃａｄ ｂｄａｃｅ ｅｃａｄｂ ｄａｃｅｂ ｃａｄｂｅ (引用終わり) これは、上記の交代群Ａで ａｂｃｄｅ→ａｃｅｂｄの変換：b→ｃ、c→e、d→b、e→d を施したもので、上記の変換は奇置換になる コーシー流記法なら、ベースは最初にabcdeで固定されているので＊） B側は、群にはなりません ですが、ガロア（記法）の視点では、ベースをａｃｅｂｄのように、臨機応変に取り直すのです （ガロア原論文に書いてあります） ですので、B側も交代群Ａと同型の群になります そして、上記20組を纏めて、abcdeをベースに考えると、この20組もまた群になります ここらは、5次方程式の群の可解・非可解を考えるとき、見通しが良いです ガロアの大発明と思います。現代数学に繋がらないので、殆ど説明されませんが（＾＾ 注）＊） コーシー記法ですと (abcde) (ａｃｅbd) のように２行使って、上段がベースで下段が置換後を表します ａｃｅbdを、奇置換とみてしまいます。奇置換の二つの積は偶置換になるので、積で閉じず、群になりません ですが、ガロアの視点では、群ですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/304
305: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 14:11:05.67 ID:XqfquCJJ >>276 (引用開始) ブルーバックスの中村亨の「ガロアの群論」の中に、 120の順列の対称群を60×2の交代群に分けた順列の 表が載っている。 5×4の順列のうち、半分の5×2の順列は交代群Ａに、 残りの半分の5×2の順列は交代群Ｂに入っている。 (引用終わり) なるほど、中村亨先生は、ガロア原論文に結構忠実に解説しているのかも（＾＾ （現代数学の視点では、交代群AとBという書き方はしませんね むしろ、コーシー流なのかジョルダン流なのか知りませんが、偶置換と奇置換を強調します その方が、置換群としては、分かり易いのかも（対称群Sn、交代群Anの説明も楽だしｗ） しかし、５次の方程式のガロア群を調べるのには、1行で済ませるガロア記法が便利で見通しが良いのですが（＾＾； ） 上記ブルーバックスは、書店でざっと目を通したのですが、 分かり易いと思ったのですが いまさら、ブルーバックスと思って、買わなかった まあ、皆さんも、図書館ででも、見ておいてください 私も、書店か図書館で、再度目についたら、見ておきます（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/305
306: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 14:26:06.43 ID:XqfquCJJ >>305 余談 偶置換と奇置換の話は、高校のときに知っていた気がする 教師が雑談で話したのか、あるいは、本を読んだのかで 当時、「偶置換と奇置換の区別がそんなに重要か？」と思ったけれど ”偶置換だと積で閉じる”から、群になるってことですね（奇置換ではそうならない） 当時は、わけわからず、「ふーん」という感じでしたけどね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/306
307: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 14:28:02.54 ID:XqfquCJJ >>306 ”偶置換だと積で閉じる”から、群になるってことですね（奇置換ではそうならない） ↓ ”偶置換だと積で閉じる”から、部分群になるってことですね（奇置換ではそうならない） こっちの方が適切な表現かもね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/307
309: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 15:36:54.15 ID:XqfquCJJ >>253 メモ追加 http://nomad-ken.com/254 大石哲之ブログ シンメトリーとモンスター 美しき群論の世界 2010年11月13日 (抜粋) http://livedoor.blogimg.jp/tetsuyuki_oishi/imgs/b/7/b7ce21ee-s.jpg シンメトリーとモンスター http://www.アマゾン.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000054597/den2-22/ タイトルだけみると、なんのこっちゃと思います。怪物の話ではありません。数学の「群論」についての本です。 最近相次いで群論に関する本が翻訳されました。 「なぜこの方程式はとけないのか？」 「代数に惹かれた数学者たち」の２冊。 両方読みましたが、５次方程式のところが話の中心で食い足りませんで、本書でようやく、いちばん興味深いところに触れることができました。 内容は、有限単純群の分類に関しての歴史。 マシュー型、散発型の群がみつかり、リーチ各子の話、J群、フィッシャー群とつづき、モンスター群が発見されるまで。そしてモンスター群からわかった驚くべき事実。 有限単純群の分類というのは、要するに無限に考えられるすべての群をタイプわけしましょうという研究で、２０世紀に人類が成し遂げた知の偉業のなかでもとりわけすごいものだ。 あまりに一般的でないネタなので、たとえば一般相対性理論のように大衆には知られていないが、知の偉業感でいうと、ダントツ級だといえる。 ２６の散発型単純群の中には発見者の名前をとった、SuzとHNというのがある。鈴木通夫、原田耕一郎の名前だ。日本人が大きな業績を残しているということも知っておきたい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/309
310: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 15:43:01.57 ID:XqfquCJJ >>308 哀れな素人さん どうもスレ主です。 (引用開始) スレ主よ、交代群ＡとかＢというのは、 僕が説明のために勝手に名付けただけで、 中村亨の本の原文にはそんなことは書いてない（笑 (引用終わり) はあ、>>276 ID:KSCnHF8Fさんも ”ブルーバックスの中村亨の「ガロアの群論」の中に、 5×4の順列のうち、半分の5×2の順列は交代群Ａに、 残りの半分の5×2の順列は交代群Ｂに入っている。” と書かれていたので、これ一応是としました（＾＾ ＞どちらも正規部分群と見なせるはずだ。 ＞ちなみに交代群Ａ、Ｂも正規部分群のはずである。 現代数学の”正規部分群”の定義は、 そこは、ちょっと違うみたいですが その話は、きっとだれかがしてくれるでしょう（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/310
314: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 17:31:40.84 ID:XqfquCJJ >>311 哀れな素人さん、どうもスレ主です。 ＞スレ主よ、>>276は僕だ(笑 ＞名前を入れるのを忘れただけ(笑 ああ、そうでしたか（＾＾； ＞>どちらも正規部分群と見なせる。 ＞>ちなみに交代群Ａ、Ｂも正規部分群。 ＞のはずである(笑 現代数学の視点では、交代群Ａn（偶置換）のみが、正規部分郡です しかし、ガロア記法の視点は、Ｂも同じ群と見ているのかも知れません つまり、>>304に書いたように、 B側で ａｃｅｂｄ ａｄｂｅｃ ｃｅｂｄａ ｄｂｅｃａ ｅｂｄａｃ ｂｅｃａｄ ｂｄａｃｅ ｅｃａｄｂ ｄａｃｅｂ ｃａｄｂｅ で、 ａｃｅｂｄをベースに、 ａｃｅｂｄ ↓ ａｃｅｂｄ 恒等置換と見ると ｃｅｂｄａなどは ａｃｅｂｄ→12345 と数字で置き換えると a→1、c→2、e→3、b→4、d→5ですから ｃｅｂｄａ→23451となります これは、A側で ａｂｃｄｅ ｂｃｄｅａ の二つの間で、 ａｂｃｄｅ→12345 と数字で置き換えたとき ｂｃｄｅａ→23451となることと完全に対応します ガロアはそういう風に見ていたと思います ガロア論文の記述全体を斟酌すれば、そう考えると”つじつまが合う”ところが多い（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/314
320: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 17:48:05.63 ID:XqfquCJJ >>312-313 ＞正規部分群とは何か理解していなくても ＞ガロア第一論文の解説書は書ける(笑 正規部分群は、なにを元の群（親みたいなものです）に取るかで、考え方が変わってきます ”部分群”ですからね。部分 vs 全体で、何を全体と見るかです ５次方程式なら、まずはS５（5次対称群）であり、A5（５次交代群）です ですが、S５の部分郡で位数20の部分郡を全体と考えると、位数5の巡回群や、位数10の半メタ巡回群は、位数20の群に対して、正規部分郡となります なお、現代では、ガロアの最大の功績は、 １）「正規部分群」という重要な概念の発見と、 ２）それによる「ガロア対応」：体の拡大と、その自己同型群（正規部分郡の列を成す）との対応 の発見 だと言われています 第8節は、その一つの系の扱いです いまは、有限群論の大理論に吸収されてしまった ですが、「正規部分群」と「ガロア対応」は、現代数学の根幹を成す のみならず、現代数学の抽象化の原点が、ガロア論文だと （つまり、代数学の抽象化がここから始まり、現代数学全体に及んだという位置づけです） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/320
323: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/06/26(水) 17:58:13.02 ID:XqfquCJJ >>315-317 ID:uIPzuKm+さん どうもスレ主です。 あなたの書いていることも 全く正しい 左剰余類分解と右剰余類分解の一致は 第一論文の中ではなく 確か、シュバリエへの最後の手紙中で触れらていましたね（下記） （参考） https://plaza.rakuten.co.jp/azabird/diary/201001130000/ 2010.01.13 オーギュスト・シュバリエへの手紙(ガロアによる） | キャットデイズ (抜粋) Ｇの夢より Ａ「２００年前の手紙にも、説明が書いてある。こんな風に。 群Ｇが群Ｈを含むとき、群Ｇは Ｇ = H + HS + HS' + ･･･ と、Ｈの順列に同じ置換を掛けて作られる組へと分解されるし、また Ｇ = H + TH + T'H + ･･･ と、同じ置換にＨの順列を掛けて作られる組へとも分解される。 この２通りの分解は、通常は、一致しない。一致するときが、固有分解と呼ばれるものだ。 (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/323
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