現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む71

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395: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/28(金) 07:18:28.05 ID:AaoXCZtb

>>392
ID:YQrn4LAxさん
どうも。スレ主です。レスありがとう

＞ガロア逆問題

ええ、下記ですね
http://maxima.hatenablog.jp/entry/2018/03/27/223834
Maxima で綴る数学の旅
2018-03-27
-数学- ガロアの逆問題
(抜粋)
ガロア理論の周辺の問題として、「ガロアの逆問題」と呼ばれる問題があります。与えられた有限群をガロア群としてもつ多項式をあれば求めよ、というような問題です。
この問題に対して５次方程式のガロア群（対称群S5の部分群）について"生成多項式"を具体的に与える論文[1]があります。
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1324-21.pdf
橋本喜一朗、角皆 宏、5 次可移群に対する Q 上 2 助変数生成的多項式の構成、数理解析研究所講究録 1324 巻 2003 年 207-216
(引用終り)

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois theory
6 Inverse Galois problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
(抜粋)
Contents
1 Partial results
2 A simple example: cyclic groups
2.1 Worked example: the cyclic group of order three
3 Symmetric and alternating groups
3.1 Alternating groups
3.1.1 Odd Degree
3.1.2 Even Degree
4 Rigid groups
5 A construction with an elliptic modular function
Partial results
Much detailed work has been carried out on the question, which is in no sense solved in general. Some of this is based on constructing G geometrically as a Galois covering of the projective line: in algebraic terms, starting with an extension of the field Q(t) of rational functions in an indeterminate t.
After that, one applies Hilbert's irreducibility theorem to specialise t, in such a way as to preserve the Galois group.
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over Q [4]; the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be [5].
All 13 non-Abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over Q. [6]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/395

396: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/28(金) 07:33:33.55 ID:AaoXCZtb

>>392
ID:YQrn4LAxさん
どうも。スレ主です。レスありがとう

>>225の論文でコンピュータ使ったところなんてありますかね？

ええ、それP334 TABLE 1とか、P348の多項式P_35(x) とか
まあ、この手の論文を見慣れていれば、すぐ分ります
Cox ガロア本にも、似たような計算がありますよ
”基本的には理論的な話”ではないですね。理論と数式処理との組み合わせでしょう
（次数が上がると、数式処理が膨大になって爆発してしまう。そこを理論で整理して爆発を押さえるってことじゃないかな）

あと、P357
(抜粋)
ACKNOWLEDGMENTS
During the preparation of this paper we have benefited from helpful and fruitful conversations
with many colleagues. We thank them all. We are specially indebted to Professor H.
Zassenhaus for suggesting the problem of a constructive realization of Frobenius groups (of
prime degree) as Galois groups, and for carefully reading the manuscript and making valuable
suggestions for its improvement. Our special thanks are due to Professor E. Kaltofen for his
generous assistance in carrying out machine computations with MACSYMA at Kent State University.
(引用終り)

（余談）
上記MACSYMAは、多分初代の本格的な数式処理ソフト（MIT製だったかな。その前にREDUCEがあったかも）
で、その子孫が、>>395のMaxima（PC版）だったと思います
あと、Zassenhaus先生に助けて貰ったとありますね
まあ、いろんな人に助けて貰って、複数人でやるのが良いと思いますよ、いまどきの数学は

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/396

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