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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む71 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/
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235: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 05:04:41.12 ID:/5rcVv/m >>225 よく探したなとは思いますが、論文自体は「ガロア逆問題」のようなより難しい主題を扱ったもので、あまり関係ないですね。 そのレンマは確かにガロアの定理と直接関係している。 あとはそのレンマの分かりやすい証明と、ガロアの定理との関係の説明があればよい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/235
236: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 05:13:26.79 ID:/5rcVv/m ガロアと現代の形式の違い というのがあって ガロアは第一論文でガロア群を常に根の置換群の形で捉えている。 現代は、ガロア群をもっと抽象的な群として捉えている。 現代から見ると、ガロア第一論文は群を「置換表現」の形で扱ってるとなる。 理解の形式としては、抽象群として捉えた方が優れている面が多いように思う。 しかしガロアの定理は、置換表現を考えていたからこそ思いつくことができたと言えるかもしれない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/236
262: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 18:58:51.73 ID:/5rcVv/m >>260 >これがAp（p次交代群）に含まれる最大だということ 「Apの真部分群なら可解群」なんてことは一般には言えないでしょ。 スレ主は交代群A_n(n≧5)以外に、非可換単純群（当然非可解群）があることを知らないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/262
263: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 19:01:43.38 ID:/5rcVv/m ガロアの論文を見ていると、ガロアが机に向かって勉強しているイメージが湧かないｗ おそらく頭の中だけで理論構成して、ささって解いて、論文にした感じ。 （思考が熟するのに時間がかからなかったという意味ではない。） なので、スレ主みたいなごちゃごちゃからは程遠い世界だろう。 その点は哀れな素人氏の言にも一理あるかもしれないが だからと言って数学的技法を使っていないということはありえない。 群論の技法と、ガウスが示したべき根解法のメソッド そして勿論ガロア理論（方程式と群の対応関係）は使っている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/263
267: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 21:22:21.74 ID:/5rcVv/m >>264 >なにを突っ込んでいるのか >意味分りません（＾＾ A_5の真部分群は可解群である（A_5が最小位数の非可換単純群だから） ので、その事実を任意のp>5にも拡張しようとしてるのかと思いました。だって >１）次数Pの方程式のガロア群で可解なら、位数P（P-1)の群で可解で、これがAp（p次交代群）に含まれる最大だということ と書いておられるので。「最大」とは何が最大なのですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/267
268: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 21:25:51.97 ID:/5rcVv/m >>261 >5次ならしらみつぶしで列挙すれば ガロアがそんな反エレガントな方法で考えてはいないことくらいお分かりでしょう 笑 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/268
269: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 21:38:27.84 ID:/5rcVv/m スレ主が前スレで「自分の言葉で」説明するように 言われていたのは、自分が理解していなければ 自分の言葉で説明することは不可能だからなんですよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/269
273: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 22:28:38.54 ID:/5rcVv/m そもそもスレ主が問題のガロア群をA_pの部分群と考える理由が分からない 言えるのはS_pの部分群というだけでしょ。（理由がなければ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/273
275: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 22:52:09.52 ID:/5rcVv/m 標数0の基礎体k上のp次既約方程式をf(x)=0 としますね。 f(x)の分解体をKとすると、K/kはガロア拡大。 ガロア群Gal(K/k)=Gとして、Gのf(x)のp個の根への作用から Gのp次の置換表現が得られる。 この条件から分かるのは、GはS_pの部分群（と同型） Gはp個の根に推移的に作用していなければならない（方程式の既約性より） f(x)=0の根の一つαとすると Gal(K/k(α))はGの部分群で、αを動かさないGの元の全体と一致する。 2個以上の根であっても同様。 2個の根α,βを添加したとき方程式が解けるということは 2個の根を動かさない元は単位元だけということと同値。 したがって （置換表現においてどの2個を選んでも）それら2個を固定するGの元が単位元だけ⇔Gが可解群 を証明すればいいと思う（多分） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/275
278: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 23:23:29.25 ID:/5rcVv/m ガロアの考えでキーポイントになるのは、方程式が解ける直前のガロア群を考えること。 そこから「Gが可解群ならばp次の巡回群を正規部分群として持つ」 ことが分かり、そこから遡ってGの作用が非常に限定された形（線形群） でなければならないことを推論する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/278
279: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/25(火) 23:26:36.07 ID:/5rcVv/m 抽象群の性質を調べるのに、置換表現や行列表現に写して調べる というのは現代にも通じる手法。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/279
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