現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む71

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253: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/25(火) 14:38:59.64 ID:vAlAkd25

>>252
＞Feit?Thompsonの定理 任意の奇数位数の有限群は可解群である。
＞*1:学部三年生の群論の試験監督TAをしていたら、この問題が出題されていました。解けた人はいなかったようです。

白紙では、点無しだから、何か書くべし
「最小位数の反例をまず仮定しそれを否定するという証明方法を取る」として
下記の五味健作先生の断片のつまみ食いでも書いて、最後「完全な証明を持っているが、余白が狭すぎる」で閉めるｗ（＾＾

http://gomiken.in.coocan.jp/japanese/math/cfsg.htm
有限単純群の分類 五味健作 別冊数理科学「群とその応用」1991より
(抜粋)

（１）素数位数で固定点なしの自己同形を持つ有限群がベキ零群であることの証明．
（２）奇数位数の単純群が可換群であることの証明（Feitと共同で）．
（３）N-群の分類．

（１）の系として，いわゆるFrobenius群という置換群のFrobenius核がベキ零群であることが分かる． これが鍵となって，Zassenhaus群と呼ばれる二重可遷置換群が分類され（Zassenhaus-Feit-鈴木-伊藤による），
（２）は非可換単純群は偶数位数をもち，したがって位数２の元を持つことを意味する． このことは，Gの構造がHの構造によって決まってしまうことを意味する．
そこでBrauerは，偶数位数の単純群を位数２の元の中心化群の構造によって分類するというプログラムを提唱し，鈴木等とともにこの研究を旺盛に推進していた．
（２）はこのプログラムに礎を提供したのである．

Feit-Thompsonによる（２）の証明は背理法によるもので，奇数位数の非可換単純群の中で位数の一番小さいものを考察する．
このような群では，真の部分群はすべて可解群となる． しかも，証明の多くの部分においては，位数が奇数であることではなく，真の部分群が可解群であるという性質だけが必要となる．
このことに気付いたThompsonは，「真の部分群がすべて可解であるような非可換単純群」すなわち「極小単純群」の研究へと導かれた．
Thompsonはさらに，すべての真部分群が可解であることは必要でなく，「p-局所部分群」すなわち「自明でないp-部分群の正規化群」が，すべての素数pに対して可解であれば十分であることに気付いた．
この条件をみたす群が「N-群」と呼ばれ，（３）において研究されたものである．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1561208978/253

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