現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む70

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714: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/20(木) 22:33:39.66 ID:LBGV1Ndl

>>677-679
どうも。スレ主です。

>現代と問題意識が違うこともあるが、確かに「よくこんなこと短期間に考えたな」という天才の煌きがある。

確かにね
それについては、下記などが参考になる
http://peng225.hatenablog.com/entry/2018/01/25/200421
ペンギンは空を飛ぶ
2018-01-25
5次方程式の解を巡る旅 ～既約多項式のGalois群編～
(抜粋)
Frobenius群 F20 位数20
Frobenius群Gに対してKとG/Kは常に巡回群になることが知られている。このような性質を持つ群をメタ巡回群と呼ぶ[6]。すなわち、Frobenius群はメタ巡回群であると言える。
F20 の全体像
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/p/peng225/20180121/20180121162728.png
F20 は2つの置換σ=(1,2,3,4,5), τ=(2,3,5,4)によって生成されるので、全ての元をσ, τの積として表現している。
次回はいよいよ可解な5次方程式の核心に迫っていこうと思う。
(引用終り)

”メタ巡回群”：エム・ポストニコフのガロア理論では、これ
https://en.wikipedia.org/wiki/Metacyclic_group
Metacyclic group

Cox ガロア本では、one dimensional affine linear group
彌永本、守屋本も、線形群と書いてあったような？？
https://books.google.co.jp/books?id=96P8lsAF7fcC&pg=PA424&lpg=PA424&dq=one+dimensional+affine+linear+group+AGL&source=bl&ots=CnO_C5cYiq&sig=ACfU3U09rqgADgC5aqMXpTUadldvL7gjIA&hl=ja&sa=X&ved=2ahUKEwii1MPli_jiAhWJvLwKHZw3BCwQ6AEwBHoECC4QAQ#v=onepage&q=one%20dimensional%20affine%20linear%20group%20AGL&f=false
https://books.google.co.jp/books?id=96P8lsAF7fcC&printsec=frontcover&dq=isbn:1118031334&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwjW-9ibjPjiAhWrLqYKHQY8DUUQ6AEIKTAA#v=onepage&q&f=false
Galois Theory David A. Cox - 2011 - ?Mathematics

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/714

785: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/21(金) 19:11:04.66 ID:o8Z+eAtR

>>781-782
哀れな素人さん、どうもスレ主です。

>僕は第一論文の第七節までは何とか自力で理解した。
>しかし第八節がどうも理解できなかったの

まあ、易しい説明も難しいので、難しくいうと
１）下記のシローの定理を使うのが、数学の筋としては一番すっきりしていると思います
２）p=5に限って説明します
３）５次方程式の一般の場合、ガロア群はＳ５（5次対称群）で位数120.。これはすぐＡ５（5次対称群）に落とせて、位数60
４）さて、５次方程式の特殊の場合で可解になるのは、２項方程式 x^5＝a で、一つの根はx＝a^(1/5) （当然だが、a^(1/5)は有理数ではないとする）
　この場合、位数5の巡回群になる（ここらは、群論の初歩で、ガロアも当然知っていた）
５）問題は、Ａ５（5次対称群）位数60の部分群で、これを群Bと名付けると、群B⊃C5（位数5の巡回群）で、最大の群は何か？
　つまり、繰り返すが、Ａ５の部分郡かつC5（位数5の巡回群）を含む、最大の群Bは何か？
６）これを、結論を言えば、5次では>>714になる
　あとは、一般の素数ｐでどうなるかですね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
シローの定理 (Sylow theorems)
(抜粋)
素数 p に対し、群 G のシロー p-部分群とは、G の極大 p-部分群である、つまり、p-群である（任意の元の位数が p の冪である）であるような G の部分群であって、G の他のどんな p-部分群の真部分群でないようなものである。与えられた素数 p に対するすべてのシロー p 部分群の集合を Sylp(G) と書くことがある。

シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は任意の有限群 G に対して G のすべての部分群の位数（元の個数）は G の位数を割り切るというものであり、シローの定理は有限群 G の位数の任意の素因数 p に対して G のシロー p 部分群が存在するというものである。
有限群 G のシロー p 部分群の位数は、n を G の位数における p の重複度として、pn であり、また位数 pn の任意の部分群は G のシロー p 部分群である。
（与えられた素数 p に対して）群のシロー p-部分群は互いに共役である。与えられた素数 p に対して群のシロー p-部分群の個数は mod p で 1 と合同である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/785

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