現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む70

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387: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/19(水) 10:12:04.36 ID:5mJxssDn

>>382
＜ご参考＞
下記、数学の星さん、面白い考えを書いている
超実数を考えるとっていう話で
これ、標準的な考えとは違う（ノンスタ）
けど、数学的にはありうるか（＾＾；

https://math-jp.net/2017/04/19/post-2115/
数学の星
「数直線上の点を実数と対応させても隙間だらけ」が正解
公開日 : 2017年4月19日 / 更新日 : 2017年4月22日
(引用開始)
数直線は実数でも埋め尽くされない
実数についてよくある誤解の一つが、「数直線は実数で埋め尽くされている」という命題である。
たしかに、数直線上に実数を埋め込むことは可能であるが、数直線上を有理数で埋めたところ、間がスカスカであったのと同様に、数直線上を実数で埋めたところで、間がスカスカなのは間違いない。
しかし、「実数の連続性」という性質を根拠に、数直線は実数で隙間なく埋め尽くされているという先入観が思わぬところで発揮されてしまうのである。

このように、実数についてはわかっているようでも、ちょっとした先入観で間違った感覚が沸き起こり、誤った結論を導きやすい。

具体的に言うと、実数は無限小を含んでいないので数直線を埋め尽くすことができないのである。

つまりデデキント切断でふさごうとしている隙間には、
実のところ、無数の点が入り込める余地がある。

通常の実数の定義においては、隙間をひとつと考え、その隙間をに１つの実数を対応させる。

デデキント切断で生じる隙間に、無数の点を詰め込むことも可能で、
その粒度で考えると、数直線は実数だけで隙間だらけといえるのである。

つまり、すきまの幅(といてもその幅の長さは限りなく0)を持たせた実数を定義することで実数の連続性が確保できるが、
一方、隙間の幅よりさらに粒度を細かくした点を詰め込むことができ、
その点になんらかの数を対応させることができる。

現に、こうした数は超実数としての地位を確立しており、これが机上の空論でないことは明らかである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/387

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