現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む67

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696: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/11(火) 23:19:16.48 ID:qGy+Mtwk

>>654
>非可算無限とは実数のことを指しているのかもしれない。
>なにしろ現代数学では、実数は線のようにべったり繋がっている、
>と考えているからだ（笑

ええ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E7%9B%B4%E7%B7%9A
実数直線
(抜粋)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Real_number_line.svg/350px-Real_number_line.svg.png
実数直線の模式図
実数直線とは、すべての実数からなる集合 R を、幾何学的な空間（具体的には一次元のユークリッド空間）とみなしたものということである。
線型連続体
実数直線は標準的な大小関係 < による順序に関して線型連続体である。具体的に言えば、実数直線は 大小関係 < に関して全順序集合であり、またこの順序は稠密で、上限性質を持つ。
上記の性質に加えて、実数直線は最大元も最小元も持たない。また、部分集合として可算で稠密なもの（要するに有理数の全体）を含む。可算稠密部分集合を持ち、最大元も最小元も持たないような任意の線型連続体は実数直線に順序同型であるという定理がある。
順序集合論においてよく知られるススリンの問題は「最大元も最小元も持たず可算鎖条件を満足する線型連続体は R に順序同型でなければならないか」ということを問うものである。そしてこの問題の主張は、集合論で標準的な公理系として用いられる ZFC から独立であることが知られている。
位相的な性質
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Real_projective_line.svg/150px-Real_projective_line.svg.png
実数直線にただひとつの無限遠点を加えてコンパクト化できる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%B7%9A
直線とは、太さを持たない幾何学的な対象である曲線の一種で、どこまでもまっすぐ無限に伸びて端点を持たない。まっすぐな線には直線の他に、有限の長さと両端を持つ線分と、一つの端点を始点として無限にまっすぐ伸びた半直線がある。

座標
直線上の点に実数を対応させることで数直線を考えることができる。
数直線は向きを持った直線であり、原点から単位点の向きに矢印を記すことがある。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Numberline.png

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/696

701: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/12(水) 07:31:22.33 ID:pwFiGnRN

>>696 補足追加

哀れな素人さんのために（＾＾
下記のご一読をお薦めする
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1625-01.pdf
数概念について 早稲田大学・理工学術院 足立恒雄 (ADACHI Norio) 数理解析研究所講究録 第 1625 巻 2009 年 1-11
(抜粋)
1 はじめに
ギリシア時代には数と量が峻別された。その思想が中世以降のヨーロッパを支
配した。一方、 西洋では科学の応用性を重んじる傾向が根底にあって、 何世紀も
かけて次第に自らの姿を顕現してきた。数に対する把握の仕方の変遷も、応用数
学的な思想がギリシア的形而上学の栓楷を脱する過程という流れの中で捉えられ
るのではないだろうか。
本講演では、ギリシアの「つぶつぶ」的数と連続量という二つの概念がヨーロッ
パにおいて統一されていく様子を述べ、 さらにこれとは異質な数観として、イン
ドの、直線上の対等な点 (位置) として数を把握する見方を紹介する。最後に数
直線の公理化を述べ、数直線を基礎に置くインド方式が基数を基礎に置く現代数
学の方式と論理的には対等であることを示す。
教育上の問題として言うなら、 講演者は、現代の数学教育は西洋の数学の歴史
的発展段階にとらわれ過ぎていることを指摘し、 個数主義にとらわれ過ぎること
なく、可能な限り早い時期に数直線を導入することを提唱する。

2 数の背景をなす概念

ギリシア以降、 ヨーロッパ数学は数理哲学的には基数主義に基づいてきた。 あ
るいは 「数は事物の個数である」 というギリシア的固定観念に呪縛されて来たと
も言える。 (パスカルの「 0 引く 4 が 0 であることを理解できない人がいる」 とい
う言葉を思い出そう。)

西洋の数学は、数学の基体を物体に悶くギリシア的思想に束縛されてきたが、動
力学や商業計算、 天体観測など応用を重視するヨーロッパ精神が目覚め、 次第に
発達してきて、応用数学の立場から連続数観が確立していった。

3 現代数学における数の定義

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/701

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