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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む67 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む67 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/
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363: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/09(日) 08:10:36.66 ID:nOfbA8rJ >>362 つづき ルベーグの積分論 リーマン積分との関係 リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能であり, 両者の積分値は一致する. ディリクレの不連続関数D(x) はリーマン積分できないが, ルベーグ積分可能であって, その積分値はゼロである. これは, 次のルベーグの収束定理のひとつの例にすぎない. ルベーグの有界収束定理に対応するリーマン積分の定理は, 極限関数f (x) のリーマン積分可能性の条件のもとで, アルツェラによって証明されていたが, この条件が外せないこともまた, ディリクレの不連続関数によってわかっていた. この意味からすれば, リーマン積分と比較してのルベーグ積分の強みは, ルベーグ可測関数の全体が各点での極限をとる操作のもとで閉じていることにある. ハンケルがしくじったリーマン積分可能性についても明快に特徴づけが与えられる. リーマン積分のルベーグの条件区間[a, b] で定義された関数がリーマン積分可能であるためには, それが有界であり, かつ, 不連続点のなす集合のルベーグ測度がゼロであることが, 必要かつ十分である. このルベーグの定理は, リーマンが書き残した条件を, 測度の理論を 用いて読み直せば, 自然に得られる. すなわち, リーマンの条件は, 本来測度論的なものであった. しかしリーマンの時代にはそもそも測度の理論がなかった. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/363
364: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/06/09(日) 08:10:51.64 ID:nOfbA8rJ >>363 つづき ルベーグの積分は, それが提供する収束定理がフーリエ解析におい て特に有効に働くことが示されたことによって市民権を得た. この 意味では, リーマンによる積分の再定義の狙いはルベーグ積分に よってようやく果されたと言える. さしあたりの結論 1 ルベーグの積分論が提供する各種の収束定理は, 解析学にとっての福音であった. 2 しかし, 本来そのことを目的として構築された理論というわけではない. 3 ルベーグの積分論はジョルダンの理論(面積概念の定式化) を測度論として強化する努力の副産物として生まれた. 4 リーマンの積分論が集合論的／測度論的に再構成される過程の延長線上にルベーグの積分論はある. (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/364
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