現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む67

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362: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/09(日) 08:10:20.42 ID:nOfbA8rJ

>>361
つづき

ルベーグの測度論
測度を定義するさい, ルベーグはボレルと異なったアプローチをとる.

ルベーグの可測集合については, その測度が区間の長さだけをもとに, 自然に定まる.
さらに
・区間はすべてルベーグ可測である.
・ルベーグ可測集合の補集合はルベーグ可測である.
・高々可算個のルベーグ可測集合の和集合もまたルベーグ可測である.
・したがって, ボレルの意味での可測集合はルベーグ可測でもある.
・有界なルベーグ可測に制限した場合, 測度の問題の要請?〜?は満される.

この時点でルベーグは, 測度の問題の考察を打ち切り, 以後はルベーグ可測な集合のみを扱うことを宣言する.

測度の問題についての余談
ルベーグの学位論文の2 年後(1904 年) に, ツェルメロの選択公理
をめぐる論争がボレルとジャック・アダマールの間でくり広げられ,
ルベーグはボレルの代弁者として選択公理への疑義を表明する.
さらにその翌年(1905 年), ルベーグの条件?〜?をみたすような
集合関数μ は存在しえないことが, ジュゼッペ・ヴィタリにより,
選択公理を利用して証明された. 《ルベーグ不可測集合の存在証明.》
ルベーグの考察は, 測度問題の解μ の存在の仮定にもとづいているが,
外測度と内測度は区間の長さだけに言及して定義されているため,
ルベーグ可測集合と測度の定義はヴィタリの証明の影響を受けない.
選択公理とルベーグ不可測集合をめぐっては, いずれ別の機会に改めて詳しく論じてみたい. . .

ボレルの理論との関係
現代の言葉で言えば, ルベーグの可測集合と測度は, ボレルの可測集
合と測度を完備化したものである.
後知恵で見ればルベーグの測度論はボレルの理論から「すぐに導か
れる」とも言える. ただし, ボレルの定式化の曖昧さは割り引いて考
えるべき. 実際にはルベーグの理論とその後の抽象的積分論の発展
のおかげで, ボレルの言ったことがわれわれにもハッキリ理解でき
るようになった.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/362

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