現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む67

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1: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/06(木) 23:11:11.38 ID:2NTuckfC

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/1

2: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/06(木) 23:13:09.08 ID:2NTuckfC

（このスレの常連カキコさん説明）
1)
粘着の一人は、キチガイサイコパス（別名ピエロ >>1)、
どこかの（某大学） 数学科卒　修士課程修了らしい
東京大学とか、すぐわかる明白なウソをいうやつだ
ロジックの破たんした見え見え、デタラメの屁理屈をこねる
それじゃ、数学は落ちこぼれで当たり前だ
こいつの発言は、全く信用できないので、基本スルーだ
（参考）
https://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e
サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む グレーより薔薇色 2007年04月06日
スレ32 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/351
(抜粋)
私？某大学の数学科卒　修士課程修了ですが何か？
ま、この程度でHigh Level Personなんていうほど自惚れちゃいませんよ
やっぱ博士号くらいとらないと数学の世界では人間とは認められませんから
(引用終り)

2)
あと、特徴的なのが、High level peopleと名付けた人が二人。これもスルーだ
スレ28 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/ (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ)
High level peopleの一人が、時枝記事（数学セミナー2015年11月号の記事『箱入り無数目』）を紹介してくれたなのだが（下記見るとこの人が、スレ28を立てたみたい。この人は、昔Tさんと私が呼んでいた人だと思う）
High level peopleのもう一人が、「俺は測度論的確率論で正当化できて、パラドクスも説明できる」と言い出して、二人で、スレ28で議論した
が、「非可測集合Sに対し、(Sの内測度)＜(Sの外測度) の条件下でSを扱いつつ確率を考える」などと迷走
確率変数の定義（>>517）も無理解で、”変数”と勘違いして”固定”なるトンデモを思いついたらしい

3)
あと、”High level people”を言い出した、英語おじさん（このスレで英語でのみカキコした人）がいたんだ
この人が、”High level people”を連発したので、借用させてもらったのだ（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/2

39: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/06(木) 23:38:21.88 ID:2NTuckfC

>>28 補足
スレ62 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
955 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/03/28(木) 21:24:02.18 ID:7L3ElMut [4/7]

Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ・・・, 9}, respectively.
”independently and uniformly”が、独立同分布（IID)を含意

区間[0, 1]から、∀iで、任意の実数 xiを選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
独立同分布（IID)で、”箱”つまり”i”の範囲は、有限あるいは無限どちらも無関係だ
よって、唯一の分布を考えれば良い。そして、繰返すが、区間[0, 1]から、任意の実数を選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
（時枝記事は、区間[0, 1]→R全体だから、さらに的中は難しい）

さて、∀i xi で確率0が、スタート地点になる！（最初はgoo!でなく、最初は確率0だ）
時枝記事で、最初の１列の無限個の箱∀i xi で確率0
が、時枝記事の並べ変えを行うと、∃i xi で確率99/100になるという

”確率0”は、大学で学ぶ現代確率論（確率過程論）よりの結論
一方”∃i xi で確率99/100”は、数学セミナーの時枝記事よりの結論
∃i xiの箱は、二つの異なる確率0と99/100と、二つの値を取ることになる（矛盾）
かつ
∃i xiの”i”については、そのときの決定番号との関係で、可能性としては、1〜∞の値を取り得る
すると、1〜∞の値のどの”i”についても、二つの異なる確率 0と99/100と、二つの値を取ることになる（さらに矛盾）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/39

239: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/08(土) 15:22:09.81 ID:e2T0R87W

>>205
それ、下記の「自然数からランダムに２個の数を選んだとき」互いに素な確率を、n有限→∞の極限で求めているのと同じ
無意識にそれをやっているだけのこと（＾＾

スレ63 ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553946643/974-975
・”「自然数からランダムに２個の数を選んだとき」というだけでは前提不足だが、ｎ以下の自然数から選ぶときの確率の極限値としてなら”（続・確率パズルの迷宮　無数の中から選ぶ（岩沢宏和著））
・なので、n有限→∞の極限なら、Hart氏のPDF（>>129より）有限（the number of boxes is finite）の場合、当てられないから、極限でも当てられない
・なお、時枝も（>>841より）”無限を扱うには，(2)有限の極限として間接に扱う”としている。この場合も、上記Hart氏の通り！
・これらは、>>945でID:+f/MVEG2さんが提起した問題の通りじゃね？
（参考）
http://shochandas.xsrv.jp/relax/probability3.htm
互いに素な確率　平成２５年１月４日
　互いに素な場合を、無限を対象に考える。すなわち、
　自然数 N={1,2,3,..,n,....} からランダムに２個の数を選んだとき、それが互いに素である２数
になる確率Ｐ1はどれくらいか？
（答）　 ＨＮ「Ｖ」さんが考察されました。
　無限にある自然数からランダムに２個の数を選ぶというのは出来そうにないので、有限個
の自然数からランダムに２個の数を選ぶ場合を考え、その極限値がどうなるかを考えました。
略
　検索したら、Webサイト「互いに素」にありました。
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E3%81%84%E3%81%AB%E7%B4%A0 互いに素）

数学セミナー（２０１３年１月号）　P80〜
　　続・確率パズルの迷宮　無数の中から選ぶ　　（岩沢宏和　著）
「自然数からランダムに２個の数を選んだとき」というだけでは前提不足だが、ｎ以下の自然
数から選ぶときの確率の極限値としてなら・・・・というような記述があります。

（参考追加）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1240-23.pdf
数理解析研究所講究録 1240 巻 2001 年
「 2 整数が互いに素になる確率」 の確率論的見方 一数値実験による予想の検証一 杉田洋(九大・数理学研究院) 高信敏(金沢大 ・理学部)
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/239

256: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/08(土) 16:38:34.12 ID:e2T0R87W

>>193追加
＜時枝の箱の列→形式的べき級数について＞
１）
（過去スレ19にも書いたことだが）
時枝の箱の列→形式的べき級数 と考えることができる
可算無限個の箱→形式的冪級数の係数 各 ai (i = 0, 1, 2, …) (下記)
とできる
２）
同値類は、例えば
exp(x)=e^x=1+x/(1!)+x^2/(2!)+・・・+x^n/(n!)+・・・という形式的べき級数を考えると
e^xに任意のn次多項式
f(x)=a0+a1x+a2x^2+・・・+anx^n を加える
e^x+f(x)＝(1+a0)+(a2+1/(1!)x+(a2+1/(2!))x^2+・・・+(an+1/(n!))x^n+・・・
なので、e^xとe^x+f(x)は、”ある番号から先のしっぽが一致する”
３）
一方、”ある番号から先のしっぽが一致する”同値類の任意の二つの元、
g(x)とf(x)を取ると、
差g(x)-f(x)は多項式
（∵”ある番号から先のしっぽが一致する”から、しっぽの部分が消えるので。）
４）
よって例えば、e^xによる問題の同値類は、{e^x}＋K[x]と表すことができる。
（ここに、K[x]は下記の多項式環から借用した）
５）
よって、”ある番号から先のしっぽが一致する”同値類の分類は、
実数R に係数を持つ形式的冪級数全体からなる集合 R[[X]] の多項式環R[x]による商集合と見ることができる
（ここでK[x]→R[x]と書き換えた）
６）
同値類の代表は、例えば、e^xで、多項式環R[x]から一つの多項式p(x)を選び、e^x＋p(x)とすることと同値である
７）
決定番号dとは、問題の数列がe^x+p'(x)に相当するとして、
多項式p'(x)の次数をm’、
多項式p(x)の次数をmとして
一般に
d＝1+max(m,m')
となる
ここで、m≠m'と仮定している
（二つの多項式の次数が一致する確率は０として無視する）
つまり、1+max(m,m')より次数の大きな項は、e^xの項そのものなので、二つは一致する

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/256

257: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/08(土) 16:40:40.86 ID:e2T0R87W

>>256
つづき

８）
以準備で、時枝の可算無限個の箱→形式的冪級数の係数の対応ができた
（含 同値類及び代表と決定番号）
ここで、もし>>192の”抽象化された時枝解法”が成立つとすると
ある有限の数Dがあって
形式的冪級数
F(x)Σ(n=0〜∞) anX^n = a0+a1x+a2x^2+・・・+anx^n +・・・
において
D+1より次数の高い係数たちの情報から
D次の係数 aDが、確率1-εで決められてしまうことになる
これは明らかに矛盾である
よって、形式的冪級数の中に抽象化された時枝解法の反例が構成できた
QED
（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ(n=0〜∞) anX^n = a0+a1x+a2x^2+・・・+anx^n +・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n >= m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
(抜粋)
体上の一変数多項式環 K[X]
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと ?つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ? は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/257

294: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/08(土) 18:23:49.50 ID:e2T0R87W

>>289
＞Prussは、non-conglomerabilityな場合には
＞「n有限→∞」の正しい方法など存在しない
＞といっているわけですが

DR Pruss先生は、互いに素の確率計算（>>239）を否定しないでしょうね
つまり、
”「自然数からランダムに２個の数を選んだとき」というだけでは前提不足だが、ｎ以下の自然数から選ぶときの確率の極限値としてなら”
ってことですよ

「キューブ工場」という確率のパラドックス（下記）も同じ
仮定が足りないってことです
仮定の置き方で異なる確率になるよと

スレ66 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1558877381/744
「量子×ベイズ――量子情報時代の新解釈」で
P75に、「キューブ工場」という確率のパラドックスがある

これは哲学者のフラーセンという人が、1989年に提唱したらしいが
辺の長さが0〜1cmのランダムな値になる小さな立方体を膨大な数で生産する工場
この立方体をランダムに取り出して調べる

立方体が0〜0.5cmの間にある確率はいくらだろうか？
１辺の長さを基準にすると、確率1/2
体積を基準にすると、体積１に対して、0〜1/8の範囲になるから確率1/8

そういう確率のパラドックスの話しがある
これ、(>>479より） DR Pruss氏のいう”non-conglomerability”を扱うと、確率で Paradoxになるということなのでしょう（＾＾

https://www.morikita.co.jp/books/book/3166
https://www.morikita.co.jp/data/mkj/015631mkj.pdf
QBism
量子×ベイズ――量子情報時代の新解釈
ウィリアム・アンド・メアリー大学名誉教授H. C. フォン・バイヤー(著) 松浦俊輔(訳) 芝浦工業大学准教授博（理）木村元(解説)

第2部　確率
　9．確率をめぐるごたごた
　10．ベイズ師による確率

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/294

509: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/09(日) 19:16:33.92 ID:nOfbA8rJ

>>478
>でも、"High level people"君は確か例の有限加法的測度を持ち出した本人だから、
>少なくとも、一応測度論を知っていると思うよ。

まあ、"High level people"の彼はおそらく時枝記事をこのスレに紹介した人です
時枝記事を真に受けて
で、それを私が否定しているのを、「同値類が分ってない」の「感情的に時枝を否定している」のと、誤解しているのです

測度論については、時枝記事の中に書いている”非可測集合経由の確率論”について
過去スレ28で、もう1人の"High level people"と議論していました（下記）

時枝記事にある非可測集合経由でも、（下記スレ28ご参照）
”積分 ∫[E_s]dν(k) を計算する際は s は固定されており確率変数ではなく”という呪文を唱えると
”結局のところ、固定されたいかなるsでもν(s)≧99/100と言えることがポイントです”という非数学の迷信を信じ込んだのです

で、その固定が>>35-36の確率変数の固定論争なのです（バカな論争ですね*)）
つまり、「変数の固定」だから”xiは確率変数ではない”という非数学的な迷信を信じているのです
なので、彼は一応測度論を知っているみたいですが、確率変数については無理解です
（なお、数学的に正しい確率変数の定義と説明は、>>37の渡辺澄夫 東工大にある通りです）
（*注：なお>>35-36の論争の当事者2人が、ID:04mkovbhサイコパスピエロと、ID:6BybJTjn High level peopleです）

＞ただ、彼も、時枝問題では「不成立」が認められないので、過剰な反応を示すね。

可哀想ですね。確率変数の「固定」なる非数学の迷信を信じ込んだのが、ドツボですね（＾＾；

（参考）
スレ28 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/61-65
(抜粋)
>>15の積分 ∫[R^N]{∫[E_s]dν(k)}dμ(s) の内側の積分 ∫[E_s]dν(k) を計算する際は s は固定されており確率変数ではなく、
外側の積分 ∫[R^N]{f(s)}dμ(s) (f(s):=ν(E_s))を計算する際は確率変数ですが箱の独立性はf(s)に関係しません。
というのも、f(s)は100面サイコロを振って1以外が出る確率を表してても同じことだからです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/509

578: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/10(月) 14:29:16.64 ID:DcUzlvdd

>>574 追加

現代数学のもっとアホな話
発散級数 ”1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ・・・”という値
ゼータ関数ζ(s)の特殊値ζ(-3)
”＝1/120”（＾＾

http://www5b.biglobe.ne.jp/sugi_m/page255.htm
２１世紀物理学の新しい公理の提案
場の量子論の発散の困難の解消へ　その２
2005/2/5＜繰り込みとゼータ関数＞
(抜粋)
ゼータ関数は次のように定義されます。

ζ（s）＝1/｛(1-2^(-s))・(1-3^(-s))・(1-5^(-s))(1-7^(-s))・(1-11^(-s))・・・｝ -----?

右辺をばらせば次のようになる。

ζ(s)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + 1/6^s + ・・・・　　　　　　------?

これがオイラー（1707〜1783）によって史上はじめて発見されたゼータです。
　?をばらせば?になるというところは、まったく感動してしまいます。

「数学の夢　素数からのひろがり」（黒川信重著、岩波書店）ｐ．４７
これらの値はゼータの特殊値としての解釈ができるだけでなく、自然界にもふつうに現れているの
かも知れません。たとえば、ラモローさんが１９９７年に、量子力学において５０年間念願とされてきたカシミー
ル効果をアメリカのシアトルにおける実験で確認したときの理論値は実質的に

”1 + 8 + 27 + 64 + ・・・”＝1/120

でした。無限大になるところをうまく引き去って（繰り込んで）意味のある有限値を出すことを物理学の言葉で
「繰り込み」と言いますが、上記の値はその一例と考えられます。

上の”1 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ・・・”という値は、リーマン・ゼータ関数ζ(s)の特殊値ζ(-3)であるわけですが
（?式参照）、それが実際の自然界に現れているということが驚きなわけです。
　”1 + 8 + 27 + 64 + ・・・”＝1/120は、現代数学では解析接続という意味合いで解釈されていますが、私の
研究で、重回積分-重回微分という方法でもっと初等的に意味付けできることがわかりました。
詳しくは数学の研究をご覧ください。
　ゼータの心で見れば、”1 + 8 + 27 + 64 + ・・・”＝1/120がとても自然に見えてくるのです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/578

652: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/11(火) 12:06:57.34 ID:N8E2AQ1D

>>648
>いや、お前の言葉で説明してくれ（笑

別に、同じことでしょ
つーか、自分の言葉といっても、自分が勉強したことを語るだけですから
いわゆる、資格試験用語の「アウトプット」というやつですね（下記）（＾＾

＞コピペはいいかげんにやめろ（笑
＞お前のアホさを示すだけだ（笑

私は全く逆に考えています
こと数学に関しては、自分で考えた数学など、基本的に信用しません
（それ、どこか間違っている（ないし不正確な）可能性ありです。
　もし、間違っていないなら、それはすでにどこかに発表されていることに同じでしょう
　もし、全く新規で正しい数学を語るなら、それにはこのスレは向きません。どうぞ他所で願います（＾＾ ）
よって、根拠（典拠）なしの記述を、私は信用しませんので、悪しからず（＾＾

>実際に上で可能無限は可算無限だと考えている者がいる（笑

"可能無限は可算無限だと考えている者"は、プロ数学者ではなく、ド素人でしょうね

>可能無限は哲学用語で可算無限は数学用語だ、
>などという定義もないだろう（笑

現在の大学数学のテキストで、「可能無限」を大学の数学として教えるところ皆無でしょう
「可算無限」は、大学数学科では必ず教えますよ（＾＾

（参考）
https://shuchi.php.co.jp/article/4436?p=1
PHP online 衆知
資格取得のプロが実践する「最短最速」スピード勉強法
2017年10月31日 公開
高島徹治（資格コンサルタント）
「インプット学習」の見切り方、「アウトプット学習」の回し方
(抜粋)
全体の学習プロセスを練る際には、インプット学習と、アウトプット学習の双方を考慮してください。
インプット学習とは、書籍や参考書から知識を脳に取り入れる（＝インプット）作業を指します。
それに対してアウトプット学習とは、取り入れた知識を吐き出す（＝アウトプット）作業のことです。問題集や過去問題などに取り組み、記憶した知識を答案用紙に書き出していきます。
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/652

692: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/06/11(火) 21:25:58.30 ID:qGy+Mtwk

>>690
>可算無限は、もはや何も追加できない自然数全体の集合ω
>そしてωと一対一対応する集合を指す

こらこら、正確に頼むよ（＾＾
文系High level peopleは、そこでハマッテいるのか
だから、時枝が分らないんだろ

自然数全体の集合は、普通Ｎだけど、まあωでもいいけど
ωと一対一対応する集合なら、偶数全体の集合もそうじゃんか
自然数全体の集合ωに負数を”追加”して、整数環Ｚ＝ω∪-ω でしょ

で
濃度：集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度といい
ですよ。”最小のものを A の濃度（cardinality of A）”ですよ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0#cite_ref-1
数学でいう順序数とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数を拡張させた概念である

順序数の大小関係
0 が最小の順序数である
その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である
ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていく

集合の濃度と基数
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数（equinumerous）であるといい、A ＝〜 B で表す
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える
そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度（cardinality of A）といい、これを |A| あるいは card(A) で表す
ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数（cardinal number）と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：
|A| = |B| 　⇔　 A ＝〜 B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/692

779: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/12(水) 14:22:50.85 ID:cWAQY72D

>>775
＞無限集合の存在性に限らずあなたは一回も証明を出してません。

こらこら、数学に関する記述は、正確に頼むよ（＾＾
「無限集合の存在」の証明はできませんよ
デデキント先生がそれで失敗したのは有名な話です（下記ご参照）

なので、「無限集合の存在」は公理です
ですので、どの公理を採用するかで、立場が異なる

そういうことです
数学に関する記述は、正確に頼むよ（＾＾

（参考）
http://abrahamcow.hatenablog.com/entry/2014/10/03/111455
デデキントによる無限集合の存在証明のあやまり 廿TT 2014-10-03
(抜粋)
概略
　小島寛之の『数学でつまずくのはなぜか』はおもしろい本だけど、ラストには（おそらく意図的な）ごまかしがある。

小島はデデキントの無限集合の存在証明は「その後の数学者たちには黙殺されてしまった」と述べているが、そんなことはない。ふつうに反論されている。

デデキントは著書『数について』において「無限」を下記のように定義している。

集合 S は、もしそれ自身の真部分集合に相似ならば、「無限」であるといい、そうでない場合には S を「有限」集合であるという。
（pp.80-81）

「相似」な集合という言葉は耳慣れないので、説明を加えよう。

無限の世界ではこういったパラドキシカルなことが起こる。

本当はこの例えは逆で、デデキントは自分自身の真部分集合にこの「一対一対応を作れる」ことが無限集合の定義であるとして、ここから自然数とはなにか、導こうとした。

デデキントによる無限集合の存在証明
　さて問題になるのは、このような無限集合 S というのが存在するのか、ということである。

そこでデデキントはおもしろいことを述べる。

私の思考の世界、すなわち私の思考の対象となり得るあらゆる事物の全体 S は無限である。
（p.81）

ふつうに反駁されている。

「私の思考の対象となり得るあらゆる事物の全体 S」という集合は、あらゆる集合の集まりを含む。

あらゆる集合の集まりは、「クラス」と呼ばれ、これは集合とは考えない。

なので、デデキントの議論は今日では証明として認められない。
(引用終わり)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1559830271/779

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