[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 30 (1002ﾚｽ)

Inter-universal geometry と ABC予想 30 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1535260426/

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421: １３２人目の素数さん [sage] 2018/09/08(土) 06:36:56.84 ID:WuYmAUig 望月氏のIUT理論の初等的な部分の着想は2000年代始め頃にはあったという。 当時は何人かの数学者によってABC予想をアーベル多様体の上にのっけるとか楕円曲線にのっけるとか色々と考えられていた。 VojtaやFaltingsもこれに手を出していた。 この場合のABC予想はMasser-Oesterle’版といわれる形のものである。 つまり、互いに素な整数a,b,cでa＋b＋c＝0なら任意実数εに対しあるK(ε)>0が存在しmax{|a|,|b|,|c|}≦K(ε)(abcを割り切る素数すべての積)^(1＋ε)が成り立つ、というもの。 これのlogをとると、log max{|a|,|b|,|c|}≦log K(ε)＋(1＋ε)(abcを割り切る素数のlogのすべての和)となり、積Πから和Σへのシフトがおきる。 ここで左辺は楕円曲線の高さである。 なぜなら、楕円曲線の有理数解の集合を考えることは比(a/c,b/c,1)を考えることと同等だからだ。 望月氏は簡便のために、特にy^2＝x(x-a)(x-λ)という楕円曲線を考えて、これから{0,1,∞}の3点を除いて1次元の射影平面と同一視して適宜その間を移動して議論している。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1535260426/421

422: １３２人目の素数さん [sage] 2018/09/08(土) 06:38:21.16 ID:WuYmAUig 右辺に関してはネヴァリンナ理論やディオファントス近似の視点から整数上の線形形式を割る素数ｐのlogにord_p(与えられた既約分数のpの冪を返す関数)など数論でよく使われる関数をかけたもので上界をつくるという方法が考えられていた。 ただし望月氏はこれをinitial-Θ-dataだけから展開することを考えていた。 initial-Θ-dataは体F上のl分点楕円曲線EとF上の付値などからだけで決定される。 そして楕円曲線上のQ点とその拡大体F点の集合X(Q)⊇X(F)などを考えるとx∈X(Q)を含む最小のX(F)を考えることでFが点xから一意に決まる。 そしてこの体Fからdifferent idealとconductorに関連して体が一意にきまる。 つまりこの体たちの上の付値からつくったカルティエ因子のdegを拡大次数で割った実数をはく関数X(Q)→Rが定義される。 different idealとconductorで決まる定義域から決まる関数の和が、高さを抑え込むという論法だった。 実際はアルキメデスか非アルキメデス、楕円曲線の良い還元や悪い還元での場合わけなどがある。 以上の議論を望月氏はF_modとKの中間体ごとに複数の世界に分け、さらにl以下の分点で議論を分け別々に計算を行っている。 そして、それらの重み平均（ガウス積分で着想を得た）を取って更に総和をかけるという手法を用いている。 このときのコンバインする際に必要な添え字などがIU幾何を必要としている。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1535260426/422

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