[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 30 (1002ﾚｽ)
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421(1): 2018/09/08(土)06:36 ID:WuYmAUig(1/2) AAS
望月氏のIUT理論の初等的な部分の着想は2000年代始め頃にはあったという。
当時は何人かの数学者によってABC予想をアーベル多様体の上にのっけるとか楕円曲線にのっけるとか色々と考えられていた。
VojtaやFaltingsもこれに手を出していた。
この場合のABC予想はMasser-Oesterle’版といわれる形のものである。
つまり、互いに素な整数a,b,cでa＋b＋c＝0なら任意実数εに対しあるK(ε)>0が存在しmax{|a|,|b|,|c|}≦K(ε)(abcを割り切る素数すべての積)^(1＋ε)が成り立つ、というもの。
これのlogをとると、log max{|a|,|b|,|c|}≦log K(ε)＋(1＋ε)(abcを割り切る素数のlogのすべての和)となり、積Πから和Σへのシフトがおきる。
ここで左辺は楕円曲線の高さである。
省2
422(2): 2018/09/08(土)06:38 ID:WuYmAUig(2/2) AAS
右辺に関してはネヴァリンナ理論やディオファントス近似の視点から整数上の線形形式を割る素数ｐのlogにord_p(与えられた既約分数のpの冪を返す関数)など数論でよく使われる関数をかけたもので上界をつくるという方法が考えられていた。
ただし望月氏はこれをinitial-Θ-dataだけから展開することを考えていた。
initial-Θ-dataは体F上のl分点楕円曲線EとF上の付値などからだけで決定される。
そして楕円曲線上のQ点とその拡大体F点の集合X(Q)⊇X(F)などを考えるとx∈X(Q)を含む最小のX(F)を考えることでFが点xから一意に決まる。
そしてこの体Fからdifferent idealとconductorに関連して体が一意にきまる。
つまりこの体たちの上の付値からつくったカルティエ因子のdegを拡大次数で割った実数をはく関数X(Q)→Rが定義される。
different idealとconductorで決まる定義域から決まる関数の和が、高さを抑え込むという論法だった。
省4
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