[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47 (650ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/

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478: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/10(日) 10:50:30.04 ID:IMWeAd+d >>474 補足 新定理(>>445)が成り立つとする。その定理が、いまの問題（Ruler Function>>284）に適用可能とする。ならば、背理法でなく、直接証明が可能だろう？ ちょっと>>445に倣って書いて見ると １．Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.（>>285より） 　　w(q) an increasing function that eventually majorizes every power function. (いかなるq^rよりも急増加関数) 　　無理数で0。ついでに、f_w(0) = 1 （>>285より。＊） （「無理数で、リプシッツ連続」は>>284以下の既出文献でさんざん証明＊＊）済みで略す） ２．f_w(p/q) = 1/w(q)＞0と出来るとして、p/q（有理数）では、不連続になる。（自明だが念のために書いた） ３．このRuler Function に、新定理が適用可能とする。 ４．R−B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1) (1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の新定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上でリプシッツ連続になる。 ？ この後、そのままで良いのか？ 　特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。 　fは点xで不連続であるが、しかし(a,b)の上で連続に、矛盾する。 QED ａ）なので、”このRuler Function に、新定理が適用可能”がおかしいか ｂ）新定理がおかしいか 二択じゃないかな？ なお、個人的には、”each dense”の制約は、このRuler Function問題では本質じゃないかなと思う なのでａ）で、新定理成立だが、Ruler Function問題には適用不可ってことになる可能性 これが一番数学的には面白いと思うよ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/478

479: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/10(日) 10:51:31.21 ID:IMWeAd+d >>478 つづき ああ、 ｃ）このRuler Functionのリプシッツ連続ではない点の濃度は、非可算で”高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆”は出来ない ということかも 新定理→Ruler Functionのリプシッツ連続ではない点の濃度は、非可算 が簡単に言えれば、それはそれで面白いね（＾＾ あれ？ 「不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である」（by 下記wikipedia 不連続性の分類 ）だって・・ 注 ＊）f_w(0) = 1を書く意味は、0は無理数でもなく、p/qとも表せないということかな ＊＊）（>>285より抜粋） ** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15] ** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20] ** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25) (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/479

497: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/10(日) 13:42:59.57 ID:IMWeAd+d >>495 ピエロご苦労 正直、>>478の Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.（>>285より） w(q) an increasing function that eventually majorizes every power function. (いかなるq^rよりも急増加関数) は、おまえの新定理の反例になってないか？ １．（>>481 wikipediaより）「不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である」を認めるとする ２．”** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)”（>>285より） 　　Hausdorff dimension zero → 個々の不連続点の閉集合は、R上長さを持たない、つまり、”内点を持たない”が言えると思う（未証明だが） ３．とすると、その定理の”R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できる”が言えるだろ？ ４．で、R−B_f は疎な閉集合の可算和だから、新定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上でリプシッツ連続になる。 ５．で、特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。fは点xで不連続であるが、しかし(a,b)の上で連続に、矛盾する。 まあ、要するに、この”Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.”（>>285より）というのは ” be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”（>>285より）が、実現された関数なわけだ そんな関数に、「f はある開区間(a,b)の上でリプシッツ連続になる」という結論を導く新定理って、それなに様定理だねと（＾＾ キーは、”R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できる”が言えるかどうかだな。 上記のRuler Function f_w(p/q) = 1/w(q) に対して Hausdorff dimension zero → 個々の不連続点の閉集合は、R上長さを持たない、つまり、”内点を持たない”が言えれば、反例成立だと思うよ （この証明はすぐに思いつかないが、だれか考えてみて（＾＾ ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/497

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