現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む47

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478: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/10(日) 10:50:30.04 ID:IMWeAd+d

>>474 補足

新定理(>>445)が成り立つとする。その定理が、いまの問題（Ruler Function>>284）に適用可能とする。ならば、背理法でなく、直接証明が可能だろう？

ちょっと>>445に倣って書いて見ると

１．Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.（>>285より）
　　w(q) an increasing function that eventually majorizes every power function. (いかなるq^rよりも急増加関数)
　　無理数で0。ついでに、f_w(0) = 1 （>>285より。＊）
（「無理数で、リプシッツ連続」は>>284以下の既出文献でさんざん証明＊＊）済みで略す）
２．f_w(p/q) = 1/w(q)＞0と出来るとして、p/q（有理数）では、不連続になる。（自明だが念のために書いた）
３．このRuler Function に、新定理が適用可能とする。
４．R－B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1) (1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の新定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上でリプシッツ連続になる。

？ この後、そのままで良いのか？

特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
　fは点xで不連続であるが、しかし(a,b)の上で連続に、矛盾する。
QED

ａ）なので、”このRuler Function に、新定理が適用可能”がおかしいか
ｂ）新定理がおかしいか

二択じゃないかな？

なお、個人的には、”each dense”の制約は、このRuler Function問題では本質じゃないかなと思う

なのでａ）で、新定理成立だが、Ruler Function問題には適用不可ってことになる可能性
これが一番数学的には面白いと思うよ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/478

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