現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む47

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182: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/02(土) 12:40:07.85 ID:DyQaSaf9

>>111 戻る
> 1/(1-q)^k (k=1～4)
> 1/(1-q^k) (k=2～3)
> それに
> 1/(1-q^2)^2
>と、公式を使いやすい分母にしたんだな～

BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、どうも。スレ主です。
公式が、小島 定吉先生のＰＤＦ 組合せ理論 2 母関数（下記） にあったね

1/(1-q)^k (k=1～4)と 1/(1-q^k) (k=2～3) とは、公式通り
1/(1-q^2)^2は、組み合わせで、1/(1-q)^k (k=2) で、q→q^2 の置き換えで、得られる・・かな（＾＾

なお、小島 定吉先生は、形式的冪級数ではなく、収束域を持つ級数として扱っているね（＾＾
（Ｐ2「|x| < 1 という範囲で成り立つ解析的な等式を使っているので，等号は，|x| < 1 でx で定義された関数として成り立つ．」）

（参考）
http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/index-j.html
小島 定吉 東京工大
http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/past/
過去の担当講義
http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/past/comb05.html
組合せ理論 2/2/06
第１章 PDF http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/past/comb05/chapter1.pdf
第２章 PDF http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/past/comb05/chapter2.pdf
第３章 PDF http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/past/comb05/chapter3.pdf

http://www.is.titech.ac.jp/~sadayosi/course/past/comb05/chapter2.pdf
組合せ理論 第２章 小島 定吉 東京工大 200602
(抜粋)
2 母関数
3. 重複組合せの関数表示

{an} の母関数はつぎのようにも表せる．
Σ{∞ n=0} ( N + n ? 1, N ? 1 ) x^n = 1/(1 ? x)^N

左辺は定義による．右辺は
・
・
の級数のn 次の項にはすべてのn 次の単項式が各々1 回現れるので，x1 = x2 = ・ ・ ・ = xn = x とおけば，各係数は重複組合せの個数になる．

10. 分割数の母関数
分割数の母関数は，
略
右辺をえるためにn を自然数とし，
1/(1 ? xn^n) = 1 + xn^n+ xn^2n+ ・・・

13. コメント
有理式は分母が因数分解できれば部分分数展開でき，an の一般項をn の式で表す
のは
1/(1 ? x)^k = Σ{∞ n=0} [(k + n ? 1)!/{(k ? 1)! n!}] * x^n
に帰着される．
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/182

201: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/02(土) 15:54:22.38 ID:DyQaSaf9

>>88 戻る
https://imgur.com/ZOphQTF.jpg の式（6.10）の下の式で

最初のΣの中の二項係数 1/24*(n+3,3), 1/8*(n+2,2), (5/12)^2*(n+1)は、
小島 定吉先生 >>182 Σ{∞ n=0} ( N + n - 1, N - 1 ) x^n = 1/(1 - x)^N
で、
N=4のとき（N-1＝３）、Σ{∞ n=0} (n+3,3) x^n = 1/(1 - x)^4
N=3のとき（N-1＝２）、Σ{∞ n=0} (n+2,2) x^n = 1/(1 - x)^3
N=2のとき（N-1＝１）、Σ{∞ n=0} (n+1,1) x^n = 1/(1 - x)^2 ((n+1,1)=n+1だな(下記))
から導けるな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E4%BF%82%E6%95%B0 二項係数 （n,k）= n!/{k!(n-k)!}
https://mathtrain.jp/nikoukeisu 二項係数の有名公式を２つの方法で導く 高校数学の美しい物語 2015/11/19

次のΣの中の二項係数 1/8*(n+1), 1/16は、
小島 定吉先生の公式 >>182 Σ{∞ n=0} ( N + n - 1, N - 1 ) x^n = 1/(1 - x)^N
で、
N=2 x=q^2として、Σ{∞ n=0} (n+1,1) (q^2)^n = 1/(1 - (q^2))^2 ((n+1,1)=n+1)
と
1/(1 - xn^n) = 1 + xn^n+ xn^2n+ ・・・ で、n=1 xn=q^2として、
1/(1 - (q^2)) = 1 + (q^2)+ (q^2)^2+ ・・・ (つまり1/16そのまま)
とから導かれる

最後のΣの中の二項係数 2/9*q^3n, 1/9*q^(3n+1),1/4*q^4nは、
上の式で、上記前２者は 項 ｛(2+q)/9｝/(1-q^3)、上記最後は項 1/4*{1/(1-q^4)} から
1/(1-x)の級数展開公式に、それぞれ、x=q^3 と x=q^4 適用でOKだな

BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、これで良さそうだな（＾＾

ガウスのように始めたが、すぐ検索で、小島 定吉先生の助けを借りるスレ主でした～（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/201

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