[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む47 (650ﾚｽ)
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461(4): 2017/12/09(土)21:46 ID:hlJ+uBXM(1/4) AAS
スレ46 2chｽﾚ:math
を書いたものだが、スレ主がヘンな躓き方をしているようなので、
以下で補足しておく。
疎な集合について：
位相空間 X において、A⊂X が疎であるとは、A の閉包が内点を持たないことを言う。
疎な集合は、英語では「 nowhere dense set 」と呼ばれる。
単なる「 not dense (稠密でない)」よりも強く、
省10
463(3): 2017/12/09(土)21:55 ID:hlJ+uBXM(2/4) AAS
以下、実数全体の集合を R とし、R に通常の位相を入れて位相空間とする。
このとき、任意の p∈R に対して、1点集合 { p } は疎な閉集合である。
次に、有理数全体の集合を Q とする。このとき、
Q ＝ ∪[p∈Q] { p }
が成り立つ。各 { p } は疎な閉集合であることに注意する。
また、p∈Q を動かすとき、集合 { p } は全て異なる集合になるが、
その集合たちは全部で可算無限個しか無いので、>>461 に書いた定義により、
省10
464(1): 2017/12/09(土)22:15 ID:hlJ+uBXM(3/4) AAS
ついでなので >>446 にも返答しておく(気になった部分があるので)。
＞３．さらに、平たく言えば、高々可算無限個の”稠密でない”閉集合の和を、R上で整列させると、（自明に）隙間があると。当然その隙間は、ある開区間だろ？
そのイメージの仕方は間違っている。まず、そのイメージの仕方は、
∪[n≧1] { 1/n }
のような例なら通用「する」。なぜなら、R − ∪[n≧1] { 1/n } には
開区間がいくつも存在するからだ。しかし、既に見た
省3
468(1): 2017/12/09(土)22:30 ID:hlJ+uBXM(4/4) AAS
>>466
この「定理」は自力で証明した定理なので、
明示的にこの定理が書いてある文献は俺にも提示できない。
ただ、証明そのものはベールのカテゴリ定理を利用する「よくある方法」であり、
しかもベールのカテゴリ定理に帰着させるためのテクニックもかなり素直なので、
全く同じ定理が誰かしらの手によって既に発見済みだと思われる。
分野としては「関数解析」であり、より詳しくは「ベールのカテゴリ定理」である。
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