現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む47

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627: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/13(水) 07:56:17.30 ID:NkVXzHSd

>>620
悪いが、おれはそれには乗らない
反例の方から攻めたいけど、良いかな？

１．”負け犬の遠吠え”とか言っているが、ある新しい定理を思いついたら、既存の定理と組み合わせて、面白いことが言えないかと考えるのは正道だろ
　　というか、それをやらないと、本当に定理が正しいとして、折角の成果を取り逃がしてしまうよ

２．確かに、”R－B_f ＝ (リプシッツ不連続な点全体の集合) が可算無限集合であり、
　　しかもこれが R の中で稠密であるとすると、「そういう関数は数学的に存在しえない！」”は、反例として考えたが、正しいとしたら面白いことでもある

３．反例に対する正しい理由付けとして、リプシッツ連続は、位相的に広がりを持った概念＊）だから、
　　”実際にそういう関数を構成しようとすると、
　　・ 当初予定していた可算無限個の点では ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立つようにできたが、
　　それ以外の非常にたくさんの点でも ｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＝＋∞ が成り立ってしまう”（>>615）
　　という。それなら、”リプシッツ連続の性質から、稠密なリプシッツ”不”連続な点は増えて、可算から不加算になる”（自己増殖性あり）が、直接導けるってことになるだろ

＊）（参考）
　　”R上の関数におけるリプシッツ連続とは、本来は「区間」の上で定義される概念であり、
　　「一点におけるリプシッツ連続」という言葉遣いは見たことが無い。”（>>603）

４．ところで、「一点におけるリプシッツ連続」については、”pointwise Lipschitz condition”という用語がある
　　例えば、>>285 "** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition. Heuer [15]、** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]" とか
　　検索でも、pointwise Lipschitz condition で山ほどヒットするよ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/627

628: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2017/12/13(水) 07:57:03.02 ID:NkVXzHSd

>>627 つづき

５．それで、”リプシッツ連続の性質から、稠密なリプシッツ”不”連続な点は増えて、可算から不加算になる”（自己増殖性あり）が正しいとすると、下記の”Hausdorff dimension zero”などと矛盾するように思うけどね。
　　その”自己増殖性”（不正確だが短くこう呼ばせて貰う）は、可算・不加算とは直接は無関係だからね

（参考）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
(抜粋)
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

[4] Bohus Jurek, "Sur la derivabilite des fonctions a
variation bornee", Casopis Pro Pestovani Matematiky
a Fysiky 65 (1935), 8-27. [Zbl 13.00704; JFM 61.1115.01]

It appears that Jurek proves some general results
concerning the zero Hausdorff h-measure of
sets of non-differentiability for bounded
variation functions such that the sum of the
h-values of the countably many jump discontinuities
is finite (special case: h(t) = t^r for a fixed
0 < r < 1). General "h-versions" of the ruler
function seem to appear as examples, and V. Jarnik's
more precise results about the Hausdorff dimension
of Liouville-like Diophantine approximation results
are used.
(引用終り)

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/628

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