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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 (692ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/
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421: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 14:27:38.04 ID:sVbA75bK >区間 [0,1] において、xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能 >となるような[0,1] で定義された関数 f(x) を挙げる問題 このような関数は存在しないことが ttps://math.stackexchange.com/questions/2115/discontinuous-at-rationals-and-differentiable-at-irrationals に書いてある。リンク先では f：R → R の場合を考えている。 f：R → R の不連続点の集合が R において稠密ならば、 f の微分不可能点の集合は「第二類集合」を部分集合として持つらしい (このことから、題意の関数が存在しないことが即座に従う)。 面倒くさいからちゃんと読んでないけど、もしリンク先の証明が正しいなら、 f：[0,1] → R の場合も、同じ手法によって「存在しない」ことが証明できるでしょう。 おっちゃんは何やら「存在する」と言っているようだが、 例のごとく、おっちゃんクオリティで盛大に間違ってるんだろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/421
422: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK >>421のリンク先の証明は個人的には すんなり頭に入ってこないので、 微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。 定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ } と置く。 もし R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で リプシッツ連続である。 この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」 となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、 R−Q ＝ 無理数全体 ＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f となるので、 R−B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1) となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。 仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/422
426: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 18:53:26.23 ID:sVbA75bK >>423 ＞任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、 ＞超越数aを任意に取り任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a それだと任意の点で不連続だろ。 ・ xが有理数のときは f(x)＝x ・ xが無理数のときは f(x)＝a と定義しているのと同じことだから、y＝x, y＝a という2本の直線が x の値に応じて交互に出現しているようなグラフになる。 どんな間違い方をしているのかと思えば、レベルが低すぎて唖然とするわ。 ・ f(p/q)＝1/q ・ xが無理数のときは f(x)＝0 という、出発点となる例よりも大幅に劣化してるじゃん。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/426
427: １３２人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 19:16:54.16 ID:sVbA75bK いや、a の値によっては、1点でのみ連続になり得るか。 ・ a＜0 または a＞1 ならば、f は[0,1]上で不連続。 ・ 0＜a＜1 ならば、f は[0,1]上のうち x＝a でのみ連続。 ・ どの場合でも、f は[0,1]上の各点で全く微分できない。 いずれにしても、目標の関数からは程遠く、スレ主が >>397-398で引っ張ってきた例の方が遥かにマシという。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/427
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