現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む44

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322: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/09(月) 15:19:36.31 ID:Lw7abe+X

>>321 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA
アルキメデスの性質
(抜粋)
数学におけるアルキメデスの性質とは、古代ギリシャの数学者シラクサのアルキメデスにちなんで名付けられた、実数の体系を典型的な例として一定の種類の群や体などいくつかの代数的構造が共通として持っている性質のことである。ふつう、アルキメデスの性質とは考えている体系の中に無限大や無限小が現れないこと、という意味で理解される。

順序体における定義

・xが無限大ならば 1/x は無限小であり、逆も成り立つ。したがって無限小の元を持たない順序体は無限大の元も持たないことになる。

順序体における同値な定義
順序体は有理数体を素体として、順序構造も込めた形で含む。このことを用いると順序体 K のアルキメデス性を以下のような命題のそれぞれによっても特徴づけることができる。[4]

１．自然数の集合はKの中で共終である。
　－ つまり、Kの任意の元はある自然数よりも小さい。したがってアルキメデス的順序体とは自然数が非有界であるような体のことになる。
２．集合{1/2, 1/3, 1/4, …} は0をKにおける下限として持つ。
　－ Kに無限小の正の元があれば0よりも大きい{1/2, 1/3, 1/4, …}の下界があることになる。）
３．Kにおける正の有理数と負の有理数の間にある数の集合は閉じている。
　－ これがなりたつ場合、その集合は0一点からなる。非零の正の無限小の数があったとするとそれらには上限がないし、同様に非零の負の無限小の数は下限を持たない。
４．Kの任意の元xについて、xより大きな整数の集合は最小限を持つ
　－ xが負の無限大ならばすべての整数がxよりおおきくなるため。
５．Kにおける任意の開区間は有理数を含む。
　－ xが正の無限小ならば開区間 (x, 2x) は有理数を含まないため。
６．有理数の集合はsupおよびinfに関してKの中で稠密である。つまり、Kの任意の元 x に対して有理数の部分集合　A があってxはAの上限になっており、infについても同様のことが成り立つ。
　－ したがってアルキメデス的順序体は有理数を稠密な部分集合とする拡大順序体になっている。

(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/322

437: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/14(土) 23:30:17.31 ID:r5EFCImt

>>436 つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinity Infinity
(抜粋)
Infinity (symbol: ∞) is an abstract concept describing something without any bound or larger than any number.
Philosophers have speculated about the nature of the infinite, for example Zeno of Elea, who proposed many paradoxes involving infinity, and Eudoxus of Cnidus, who used the idea of infinitely small quantities in his method of exhaustion.
Modern mathematics uses the general concept of infinity in the solution of many practical and theoretical problems, such as in calculus and set theory, and the idea also is used in physics and the other sciences.

In mathematics, "infinity" is often treated as a number (i.e., it counts or measures things: "an infinite number of terms") but it is not the same sort of number as either a natural or a real number.

Georg Cantor formalized many ideas related to infinity and infinite sets during the late 19th and early 20th centuries. In the theory he developed, there are infinite sets of different sizes (called cardinalities).[1] For example, the set of integers is countably infinite, while the infinite set of real numbers is uncountable.[2]
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/437

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