現代数学の系譜11 ガロア理論を読む33 [無断転載禁止]©2ch.net

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469: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/31(水) 12:11:10.16 ID:105ZXXC5

>>467
小林 俊行先生って、世界的な数学者やね～（＾＾
知らなかったよ・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%9E%97%E4%BF%8A%E8%A1%8C
小林 俊行 （こばやし としゆき、1962年9月 - ）は、日本の数学者。東京大学教授。理学博士（1990年）。大阪府大阪市出身[1]。

業績
工学者からの質問をきっかけとして、積分幾何の問題に取り組み、領域の変形の立場で、Pompeiu予想（1900年代初頭より未解決の問題）が正しいことを小林が証明したとき、小林はまだ修士の学生であった。
さらに領域の特性関数のフーリエ像の零集合の無限遠での漸近挙動から領域の形状を記述するという問題に発展させ、その非線形偏微分方程式を導いた。
正の定曲率を持つ完備なローレンツ多様体は決してコンパクトにはならないが、その一方で基本群は必ず有限群になる。この奇妙な現象はカラビ・マルクス現象と呼ばれるが、小林はこの現象の必要十分条件を示した。
これをきっかけとし、リーマン幾何の枠組みを超えた等質空間の不連続群論に小林は世界で最初に本格的に取り組み、その基盤作りを行った。
ユニタリ表現論における分岐則の離散分解可能モデルを提唱し、ユニタリ表現論における離散的分規則の理論を創始した。同理論を非可換調和解析に応用し離散系列表現を構成した。さらに保型形式論に応用しモジュラー多様体における消滅型定理の証明を与えた。
また離散群が等質空間にどう作用するかを研究し、そこから非リーマン等質空間における不連続群の変形を研究した （ローレンツ多様体に関するゴールドマン予想を一般化した上で解決を含む） 。
複素多様体における「可視的な作用」という概念を導入し、この新しい幾何学的立場の視点から、無限次元の場合と（組合せ論が絡む）重複度1の表現の統一理論を構築した。
無限次元の根源的な対称性である極小表現をモチーフとし、共形幾何学・シンプレクティック幾何学や調和解析・微分方程式などに多くの分野にまたがる大域解析の理論を興した。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495860664/469

547: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/06/02(金) 09:14:11.86 ID:DtknLDcm

>>469
>カラビ・マルクス現象

カラビ・マルクス現象か・・。擬リーマン幾何？それはなんですか？（＾＾
http://www.ipmu.jp/en/node/1880
Kavli IPMU News
http://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news25/J03_FEATURE.pdf
局所から大域へ － リーマン幾何を超えた世界で 小林俊行 2014
(抜粋)
1980年代の半ばごろより、私はリーマン幾何学の枠組を超えた空間に対する不連続群の一般理論を作ろうという試みを始めました。リーマン幾何とは対照的に、“自然な距離”が存在しない世界では、研究手法そのものも開発する必要があります。当時は興味を示す研究者は殆どおらず、孤独ではありましたが何をやっても新しい発見になりました。
1990年代以降には、いろいろな分野の数学者もこの新しいテーマに参入し、（非可換） エルゴード理論・ユニタリ表現論・微分幾何学など数学の異分野と思いがけない繋がりも生まれてきています。
国際数学年の2000年には、「（非リーマン幾何における） 局所均質空間」というテーマが21世紀の新しい数学の挑戦課題の一つとして紹介され （文献 ［1］）、その後もこのモチーフは深化し続けています。
本稿では、厳密さは多少犠牲にして数学の専門用語をできるだけ持ち込まず、リーマン幾何の枠組を超えた局所均質空間の大域幾何と、最近手がけ始めたスペクトルの研究 （大域解析） の雰囲気を伝えてみたいと思います。

擬リーマン幾何は、リーマン幾何や相対性理論の時空を記述するローレンツ幾何を特別な場合として含む概念です。その入り口を紹介しましょう。

定理1 (1)（リーマン幾何）必ず閉じている。(2)（ローレンツ幾何）決して閉じない。
定理1(2)は、第一発見者の名前を取って、カラビ＝マルクス現象と呼ばれています（文献［ 2］）。

定理1と定理2のいずれにおいても、「局所 　 大域」に関して、リーマン幾何とローレンツ幾何には著しい違いがあることを主張しています。もっと一般の符号(p,q) (p ? q ? 2) に対する擬リーマン幾何についてはどうでしょうか?
カラビ=マルクス現象を一般化することにより、正の曲率の場合は閉じた空間形が存在しないことが証明されます。一方、負曲率の場合にはどのような整数 p,q に対して閉じた空間形が存在するかという問題は、まだ完全には解決していない難問です。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495860664/547

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