現代数学の系譜11 ガロア理論を読む32 [無断転載禁止]©2ch.net

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99: １３２人目の素数さん [sage] 2017/05/22(月) 13:37:08.96 ID:jwljHBXe

>>97ではアンカを>>90にしてしまったが、>>95の間違いだ。

>>95
では、ここから先は、(1)を用いて「 1≦x 」を証明することにする。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
補題1：どんな正整数 n に対しても 2^n ＞ n が成り立つ。

証明：nに関する数学的帰納法で簡単に示せる。または、二項定理を使って
2^n＝(1＋1)^n＝Σ[k＝0～n] nCk≧Σ[k＝0～n] 1＝n＋1＞n としてもよい。

補題2：a は実数で、どんな正整数 n に対しても a ＜ 1/n を満たすとする。このとき、a≦0 である。

証明：もし a＞0 とすると、1/a は正の実数である。m＝[1/a]＋1 と置く。
ただし、[ ] はガスウ記号とする。一般に [x]＋1 ＞ x が成り立つので、[1/a]＋1 ＞ 1/a である。
すなわち、m＞1/a である。式変形して、a＞1/m である ・・・(i)
m は正整数であることに注意して、問題文の仮定

「どんな正整数 n に対しても a＜1/n が成り立つ」

により、a＜1/m である。これは(i)に矛盾する。以上より、a≦0 である。

定理：>>90の x について、1≦x である。

証明：>>90 の(1)により、どんな正整数 n に対しても Σ[k＝1～n] 1/2^k ＜ x である。
Σ[k＝1～n] 1/2^k ＝ 1－1/2^{n＋1} に注意して、1－1/2^{n＋1} ＜ x である。式変形して、
1－x ＜ 1/2^{n＋1} である。補題1から 1/2^{n＋1} ＜ 1/(n＋1) ＜ 1/n であるから、1－x ＜ 1/n である。
まとめると、「どんな正整数 n に対しても 1－x ＜ 1/n である」ということになる。
a＝1－x と置けば、「どんな正整数 n に対しても a ＜ 1/n である」ということになる。
補題2より、a≦0 となる。すなわち、1－x≦0 となる。よって 1≦x である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

以上より、確かに 1≦x である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/99

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