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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む32 [無断転載禁止]©2ch.net (700ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む32 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/
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210: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/23(火) 12:56:38.55 ID:I0gd4mu6 >>176-177 補足 ペアノの公理もよく使われる。下記5番目の公理が、無限集合を導く （つまり、所詮(文系)High level peopleは、”車輪の再発明”であり、その議論は19世紀のレベルを脱し得ない（デデキントを超えない）と思うよ（＾＾；） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 ペアノの公理 (抜粋) 5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。 5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。 無限集合の公理は 0 を含む帰納的集合の存在を主張しているので、ここでの N の定義に問題はない。 自然数のシステム (N, 0, suc) はペアノの公理を満たすことが示される。 それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/210
212: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/23(火) 13:24:32.14 ID:I0gd4mu6 >>176-177 要は >>197-199 >>206-207 >>210 ＆ >>175 これらを纏めると １．1887 デデキントは『数とは何か，そしてまた何であるべきか』で、無限集合の存在を証明したと思ったが>>206、反駁された>>207 ２．一方ヒルベルトは、1920 年代に、 数学の論理的演繹を外からながめて，記号列の有限的かつ構成的な操作の体系（有限の立場）として分析することで，この体系が矛盾しないこと（無矛盾性）を証明する，という計画（ヒルベルトのプログラム）に，精力的に取組んだが、だめだった>>175 ３．現代数学では、無限はなんらかの公理として認めるしかない>>176 ４．だから、現代数学で、無限を議論するときはZFC公理系が標準（デフォルト）で、もちろんZFC公理系以外の公理も可能だが、デフォルトでないなら宣言しないといけない ５．素人さん vs (文系)High level people 香ばしい議論お疲れです（＾＾； まあ、素人さんに「なんのコウリ」と聞いても、高利か行李くらいしかわからんかも・・。 だが、(文系)High level people さんにしても、「（無限）公理」の確認成しに、口角泡を飛ばす議論が、（19世紀を彷彿とさせ）微笑ましいと思った次第だ・・（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/212
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