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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む32 [無断転載禁止]©2ch.net (700ﾚｽ)
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207: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/23(火) 12:45:50.00 ID:I0gd4mu6 >>206 補足 ”デデキントによる無限集合の存在証明” デデキントの議論は今日では証明として認められない。 http://abrahamcow.hatenablog.com/entry/2014/10/03/111455 2014-10-03 デデキントによる無限集合の存在証明のあやまり 廿TT (抜粋) デデキントによる無限集合の存在証明 さて問題になるのは、このような無限集合 S というのが存在するのか、ということである。 さっきは自然数を例を出したけれど、自然数はまだ定義されてないのでつかっちゃだめだ。 そこでデデキントはおもしろいことを述べる。 私の思考の世界、すなわち私の思考の対象となり得るあらゆる事物の全体 S は無限である。 （p.81） こんな風だ。 s を集合 S の要素とする。写像 ?(s)?(s) を「 s が私の思考の対象であり得ると考えること」とする。 こうすると、 花、犬、太陽、… 花は私の思考の対象であり得る、犬は私の思考の対象であり得る、太陽は私の思考の対象であり得る、… という具合にいくらでも一対一対応を作れる。 これによって「私の思考の世界、すなわち私の思考の対象となり得るあらゆる事物の全体 S は無限である」ことが示された。 ふつうに反駁されている。 「私の思考の対象となり得るあらゆる事物の全体 S」という集合は、あらゆる集合の集まりを含む。 あらゆる集合の集まりは、「クラス」と呼ばれ、これは集合とは考えない。 なので、デデキントの議論は今日では証明として認められない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/207
212: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/23(火) 13:24:32.14 ID:I0gd4mu6 >>176-177 要は >>197-199 >>206-207 >>210 ＆ >>175 これらを纏めると １．1887 デデキントは『数とは何か，そしてまた何であるべきか』で、無限集合の存在を証明したと思ったが>>206、反駁された>>207 ２．一方ヒルベルトは、1920 年代に、 数学の論理的演繹を外からながめて，記号列の有限的かつ構成的な操作の体系（有限の立場）として分析することで，この体系が矛盾しないこと（無矛盾性）を証明する，という計画（ヒルベルトのプログラム）に，精力的に取組んだが、だめだった>>175 ３．現代数学では、無限はなんらかの公理として認めるしかない>>176 ４．だから、現代数学で、無限を議論するときはZFC公理系が標準（デフォルト）で、もちろんZFC公理系以外の公理も可能だが、デフォルトでないなら宣言しないといけない ５．素人さん vs (文系)High level people 香ばしい議論お疲れです（＾＾； まあ、素人さんに「なんのコウリ」と聞いても、高利か行李くらいしかわからんかも・・。 だが、(文系)High level people さんにしても、「（無限）公理」の確認成しに、口角泡を飛ばす議論が、（19世紀を彷彿とさせ）微笑ましいと思った次第だ・・（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/212
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