現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net

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531: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/04(木) 07:53:07.07 ID:x3HFcyPu

>>527 補足
>あとがきの「はっきりいって整数論は面白くない」という冒頭の言葉

日本には、「整数論は数学の女王」という都市伝説があります（＾＾；
都市伝説ですから、根拠はあいまいです（下記）

が、高木貞二というえらい先生で、日本人で最初に世界的業績を上げました人がいます。当時は数学の賞が無かったようで（フィールズ賞 1936年に作られた）、残念ながら受賞はありません。が、フィールズ賞の審査員をしたとか読んだ記憶あり
高木貞二先生の業績が、代数的整数論だとか。で、代数的整数論は日本のお家芸的扱いですね。整数論の本たくさんありますね（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%82%E3%82%8B%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%AE%E7%94%9F%E6%B6%AF%E3%81%A8%E5%BC%81%E6%98%8E
(抜粋)
『ある数学者の生涯と弁明』（あるすうがくしゃのしょうがいとべんめい、原題: A Mathematician's Apology）とは1940年にイギリスの数学者、G・H・ハーディによって書かれた随筆である。
「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。」というカール・フリードリヒ・ガウスの言葉についてのハーディがしているコメントの中でも強調されている・・・
ガウスの意図したものは、数論を構成する基礎的概念は数学の他のどの分野と比較してもより深く、より優雅である」とハーディは言っている。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/3142790.html
(抜粋)
質問者：matsui888質問日時：2007/07/05 教えて!goo
ガウスや高木貞二とかが「整数論は数学の女王」だと言ったそうですが
何故,整数論は数学の女王と言えるのでしょうか?

No.7回答者： string 回答日時：2007/07/06
既出ですが、たんにガウスがそう言ったからであって、あまり一般的な認識ではないと思います。
ガウスよりも能力の高かったニュートンは整数論なんて一切興味がありませんでした。
オイラーは、友人のゴールドバッハがいろんな問題を手紙に書いて送ってくるのでそれに答える形で整数論をやりましたが、主体的に興味をもってとりかかったというわけではありません。
リーマンは整数論の論文はたった数ページの論文を1つしか書いていません。リーマンの一番の関心は熱、光、磁気、電気、重力の間の相互作用を統一的に把握することでした。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/531

535: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/04(木) 09:52:32.18 ID:x3HFcyPu

メモ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%97%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B2
(抜粋)
ゴットロープ・フレーゲ（Friedrich Ludwig Gottlob Frege[2], 1848年11月8日 - 1925年7月26日）は、ドイツの哲学者、数学者、論理学者であり、現代の数理論理学、分析哲学の祖と呼ばれる。

業績[ソースを編集]
フレーゲはアリストテレス以来の最大の論理学者といわれる。革命的な『概念記法』(Begriffsschrift) は1879年に出版され、アリストテレス以来2,000年変わらずに続いていた伝統論理学を一掃して論理学の新時代を切り開いた。
今日の数学で定着している∀（任意の）や∃（存在する）のような量化はこのフレーゲの業績に基づいている。

フレーゲは命題論理と述語論理の公理化を最初に行った人物であり、特に述語論理はそれ自体がフレーゲの発明である（実際には概念記法は高階論理の体系であり、ラムダ計算の祖ともいえる極めて先駆的なものである）。
しかしそのあまりもの先進性、独創性（そしてひょっとしたら彼の既存の説への激しい攻撃）ゆえにフレーゲの同時代にはその意義は十分に理解されなかった。彼の概念が広まったのは、ジュゼッペ・ペアノやバートランド・ラッセルらによるところが大きい。

ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタインとエトムント・フッサールは、フレーゲの影響を大きく受けた哲学者である。また、ルドルフ・カルナップはフレーゲの授業に出席しており、彼の（カルナップによればシャイな）性格について書き残している。
またフレーゲは言語哲学や分析哲学の基礎を確立した人物の一人としても数えられる。「意義と意味について」における意味（独：Bedeutung, 英：meaning, reference）と意義（独：Sinn, 英：sense）の区別、概念と対象との区別などで知られる。

フレーゲは数学は論理に帰着しうるとする論理主義の最初の主要な論客でもあり、彼の『算術の基本法則』(Grundgesetze der Arithmetik) は自然数論および実数論を論理から導こうとする企てであった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/535

562: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/04(木) 23:14:52.66 ID:x3HFcyPu

>>561 関連

https://kotobank.jp/word/%E6%95%B0%E7%90%86%E5%93%B2%E5%AD%A6-83312
(抜粋)
コトバンク> ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典> 数理哲学とは

数の哲学ともいう。数学の対象となる事物を理性の認識対象としてだけとらえ，その根拠を研究する思弁的学問。

デジタル大辞泉の解説
すうり‐てつがく【数理哲学】

数学に関連する事柄を研究する哲学。19世紀末におけるカントルの集合論以後、数学基礎論の展開と関係が深く、著しい発達を遂げた。
出典｜小学館

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6
(抜粋)
数学の哲学（すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。

初期のヒルベルトは演繹主義者であったが、上記のように、メタ数学的方法が本質的に有意味な結果を生み出すと考え、有限算術に関して実在論の立場に立っていた。後年には、どんな解釈を取ろうとも有意味な数学は他に一切ありえないという見解をもつようになった。
ルドルフ・カルナップ、アルフレト・タルスキ、ハスケル・カリーら他の形式主義者たちは、数学とは形式公理系の研究のことであると考えた。数理論理学者は形式体系を研究しているが、形式主義の立場に立つ研究者も実在論の立場に立つ研究者も同程度にいる。

直観主義擁護派の主要人物は、いかなる種類の形式化された論理学も数学にとって有益でないとしたブラウワーであった。彼の学生であったアレン・ハイティングは直観論理を定式化した。

フレーゲとタルスキが数学的言語の研究のために案出した方法が、タルスキの学生であったリチャード・モンタギューや形式意味論の分野で研究している他の言語学者たちによって大幅に発展し、数学的言語と自然言語との違いは見かけほど大きくないかもしれないということを明らかにしている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/562

566: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/04(木) 23:47:10.49 ID:x3HFcyPu

>>560 関連

ああ、やっと欲しい話がヒットしたね（＾＾；
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/staff/sugita.html
大阪大学大学院理学研究科数学専攻・理学部数学科
杉田 洋 (Hiroshi SUGITA)  研究分野 確率論
URL http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~sugita/

私の専門は確率論です。とくに無限次元確率解析、モンテカルロ法、確率論的数論といった分野に興味を持っています。ここでは、モンテカルロ法について書くことにします。
現代確率論が2年次で習う「確率・統計」よりどこが進歩しているか、を一言でいうと「無限個の確率変数を扱えるようになったこと」ということができます。たとえば「確率・統計」でN回のコイン投げの確率モデルが出てきますが、現代確率論では無限回のコイン投げの確率モデルを実現します。
じつは驚くべきことに、確率論のすべての対象は（非可算個の独立確率変数を考える、などというマニアックな場合を除いて）原理的には「無限回のコイン投げ」を基にして作り上げることができます。

この原理はモンテカルロ法において生かされます。すなわち、モンテカルロ法では、まず、シミュレートしたい確率変数Sをコイン投げのサンプルの関数として構成します。
そして、コイン投げのサンプル…疑似乱数生成器と呼ばれるコンピュータプログラムを用いて算出されます…をその関数に放り込むことによっ て、Sのサンプルを計算するのです。
そこで重要な問題は「疑似乱数生成器をどのように構成するか」ということです。長い間、ランダムな数列を生成するプログラムなど存在しない、という理由で、そもそも完全な疑似乱数生成器は存在しない、と信じられてきました。
それが1980年代に提案された「計算量的に安全な疑似乱数生成器」という概念は、完全でない疑似乱数生成器でも確率変数Sのシミュレートを事実上完全に実行し得る可能性があることを人々に信じさせました。

近年、私は大数の法則を利用して確率変数の平均値をモンテカルロ法によって求める場合に限っては、完全な疑似乱数生成器が存在し、実際にコンピュータで実現することができることを証明しました。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/566

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