現代数学の系譜11 ガロア理論を読む29 [無断転載禁止]©2ch.net

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1: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/01/15(日) 10:11:35.71 ID:3YFHDxHU

小学レベルとバカプロ固定お断り！sage進行推奨（＾＾；
旧スレが512KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む28(High level people が時枝問題を論じるスレ) http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
27 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/
26 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
25 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
24 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/
23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1474158471/
22 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/
21 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/
19 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/
18 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/
17 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
16 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/
15 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
14 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
13 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
12 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
11 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
10 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
（略（9～5は、10のテンプレご参照））
(4) http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
3 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
2 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
初代 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/1

471: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/16(日) 08:31:59.98 ID:ScaBoXOo

>>457 補足
情報、古そうだが、下記”阪大 大山 陽介スレ”をどうぞ
日本語では唯一であるというけれど、西岡ママが、本書いたよね、確か（最後においた）
西岡パパの「微分体入門」はその前においた。”この講演内容の詳細についてはつぎの著書を参照してもらいたい:西岡久美子著「微分体の理論」(共立出版)”P59か、ママをＰＲえらいね（＾＾

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/ref2.html
(抜粋)
微分ガロア理論の講義の後、いろいろ宣伝もして質問を受けましたので、この機会に文献をまとめておきます。

西岡 啓二 代数的微分方程式の一般解--微分代数入門-- 慶応大学セミナーノート 11, 1987.
・日本語では唯一である。慶応や友隣社には残っていない。どなたか TeX にしませんか？

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/
過去の講義・文献（院生以上向け）

微分ガロア理論の全体的な文献 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/ref2.html
ガロアの夢とモノドロミ http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/galois.html
パンルヴェ方程式の全体的な文献 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/text.html
パンルヴェ関係の講義の参考文献 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/ref.html

2002年12月2日～6日 京都大学集中講義 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/kyoto.html
2005年後期 現代数理学概論 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/frame/kougi/past/painleve2.html

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ohyama/
大阪大学大学院情報科学研究科 情報基礎数学専攻（離散構造学講座）：大山 陽介
(引用終り)

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1765-05.pdf
微分体入門-付値理論による線形常微分方程式の研究. 西岡啓二 数理研 2011

https://www.amazon.co.jp/dp/4320016998
微分体の理論 共立 2010 西岡ママ
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/app/file/goods_contents/918.pdf
”はじめに” 同上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/471

480: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/16(日) 14:40:17.85 ID:ScaBoXOo

>>479 関連

*) ガイゴー
http://www.itmedia.co.jp/im/articles/0609/11/news088.html
GIGO（じーあいじーおー）
garbage in, garbage out / ガイゴー / ギーゴー / ガーベジイン・ガーベジアウト
情報マネジメント用語辞典： ITmedia エンタープライズ

コンピュータによる情報処理において、プログラムに組み込まれたロジックに一切間違いがなくとも、与えられたデータ（入力）が誤っていれば、得られる値（出力）は無効なものにしかならないということを示す警句。直訳すれば「ゴミを入れると、ゴミが出てくる」で、FIFOのもじりと思われる。
　内容的には「不正な入力からは不正な出力しか得られない」という、コンピュータ技術者にとっては自明のことがらをいったものにすぎないが、GIGOという表現はコンピュータの歴史のごく初期のころから使われてきた。
これは「コンピュータは頭がいい」「間違った入力も直してくれる」といった過大な幻想を抱いているコンピュータ初心者に、コンピュータの特性を説明する平易な言い回しとして定着したようだ。
　その後、不適当な入力を拒絶するチェックプログラムなどが実装されるなどもあって、今日ではプログラミングの分野でGIGOを強調することはほとんどない。

一方、ビジネス・インテリジェンスの分野で、「収集・蓄積したデータが不正だと、分析結果も不正になる」という意味――すなわちデータクレンジングの重要性を示す言葉として使われることが増えてきている。
なお、この分野（特にデータマイニング）ではまれに精度の低いデータから良い結果が得られることがあり、これを“garbage in, gospel out＝ごみを入れたら、福音が得られた”ということがある（ただし、「良い結果が得られた」という判断自体が勘違いであり、検証もせずにコンピュータの出力をむやみに信じることをやゆする意味が強い）。
　garbage in, garbage outは語呂がいいこともあってか、英語圏では一般的な慣用句としても広く用いられ、統計・調査、意志決定の分野などでも金言としてよく使われている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/480

494: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/17(月) 18:01:02.76 ID:mNM7pqkU

前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；

https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法　学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）投稿日：2012/8/4
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）

2.2ｃｈの内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞2ｃｈや知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈの人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494

505: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/18(火) 06:52:17.54 ID:oOHrLD0y

>>492 もどる

（補足）
（再度抜粋引用開始）
「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全）(https://www.amazon.co.jp/dp/4860643631)1章94ページ
「h を (Z/pZ)* の原始根とします。このとき、h の mod p^n での位数を m とします。
h^m ≡ 1 (mod p^n) より、h^m ≡ 1 (mod p) で、h の mod p での位数が p - 1ですから、m は p - 1 で割り切れます。m = s(p - 1) とします。すると、h^s の mod p^n での位数は p - 1 です。ここで g = h^s をおきます。
1, g, g^2, …, g^(p-2)
は、h で表すと指数がすべて m = s(p -1) 以下ですから、mod p^n でみてすべて異なります。もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」

ここで最後の「もちろん、mod p で見たときもすべて異なります。」にギャップを感じており、すなおに「はい」といえません。「もちろん」というキーワードに驚いています。
この最後の部分はどうしていえるのでしょうか？よろしくお願いいたします。
（引用終り）

１．質問者の気持ち、分かる。初版から４刷までは、>>496引用のように、「gを(Z/pZ)*の原始根とすると，定理1.15(i)より，mod Pで見て 1，g ，g^2，・・・ ，g^(P-2) はすべて異なります。」だった。
２．そして、上記「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」は、正しい。正しくないのは、>>496引用の「mod P^nで見たとき」の「なぜなら・・・」の証明部分の方だ
３．で、言いたいことは、元の流れは、「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」なんだ
４．それを、訂正で流れを変えてしまった。多分スペースの都合。「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」が入らないので、「もちろん」とやったんだ
５．繰り返すが、初版のときは、「定理1.15(i)より，・・・ はすべて異なります。」と書くのが分かり易いと思っていたんだ
６．流れ変えたら分からんという人も出てくるだろうさ。でも、スペース優先になったんだ（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/505

534: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/19(水) 12:36:08.82 ID:gLi5Ebjw

>>531
◆QZaw55cn4cさん、どうも。スレ主です。

>石井は高木貞治のものを噛み砕いていました

ああ、そうなん？　それ、持っているかもしれんが・・・、まあ探すのも面倒だし・・・

で、本題
ともかく、石井先生のP94からの既約剰余類群の証明は、石井先生甘く見ていたんだろうね

>>518 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13170327928
「ガロア理論の頂を踏む」（石井俊全） qzaw55cn4cさん yahoo! 知恵袋 2017/2/10

（回答補足）
doahoyasanさん2017-02-10 19:39:10
大変失礼しました。かなり見当違いなコメントだったようです。

(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です。ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてますね。
mod pで考えるとｐ乗するのは何もしないことと同じなので
ｇ＝ｈ＾ｓ≡ｈ(mod p)
です。ｈが原始根であることから0≦k＜ｌ<p-1に対して
g^k≡h^kとg^l≡h^lは合同でないことになります。

質問者qzaw55cn4cさん 2017-02-10
1. (Z/p^nZ)*は位数が{p^(n-1)｝(p-1)の巡回群
2. フェルマーの小定理 a^p ≡ a(mod p)
の二つから h^s ≡ h (mod p) がいえるわけですね．
ただ，この教科書では，この二つとも現在の段階から後に（おそらくは現在の結果を利用して）証明するようですので，循環論法になるような気がします．
(引用終り)

所感：
１．解答者 doahoyasanさん レベル高いね
２．”(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数です。ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてますね。
　mod pで考えるとｐ乗するのは何もしないことと同じなので ｇ＝ｈ＾ｓ≡ｈ(mod p) です。ｈが原始根であることから0≦k＜ｌ<p-1に対して g^k≡h^kとg^l≡h^lは合同でないことになります。”
　　は秀逸ですね。納得だな
３．だが、質問者が指摘しているように、”(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群なので、ｍはその約数”は、この命題を証明する過程での議論なので、この結果は証明に使えない。
４．石井先生は、P85でオイラー関数Φを使わない証明を考えたという。だが、P94辺りの証明は甘かったのでは？　そう思うスレ主です。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/534

538: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/19(水) 13:36:44.99 ID:gLi5Ebjw

>>537 補足

あれ？ガロア理論の頂きが、第１０章「５次方程式の解の公式はない」？ 正確には違うが、世間一般の説明では、よくこう言われるね（＾＾
「５次方程式の解の公式はない」は、アーベルが到達した”頂き”だよね。ガウスも「そんな証明はすぐ出来そうだ、余白がないので、予言だけ書く」とDAに記したとか
ガロア第一論文の頂きは、P>=5の奇数次数の代数方程式が可解の場合に線型群（メタ巡回群）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E2%80%93%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%8B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
アーベル?ルフィニの定理（アーベル?ルフィニのていり、英: Abel?Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。

同時期の貢献としては他にガウスのものがある。ガウスは不可能性の直接証明こそ行わなかったが、それが不可能問題であることに確信を持っていた。学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。
代数的に可解な系列として円分方程式論を展開しているが、これはアーベルやガロアの理論のプロトタイプといえるものであり、両者に影響を与えた。なおガウスは後年アーベル、ガロアの論文を受け取っているが、全く関心を示さなかったという。ガウスにとって既に重要な問題とは見えなかったらしい。
(引用終り)

http://yoshiiz.blog129.fc2.com/blog-entry-736.html
よしいずの雑記帳 meta-abelianとmeta-cyclic 2013-06-06 : 代数学
(抜粋)
meta-cyclic
群 GG が meta-cyclic であるとは, GG の正規部分群 NN が存在して, NN と G/NG/N の両方が巡回群であるときにいう. meta-cyclic ならば meta-abelian である.

meta-cyclic な群は超可解群 (supersolvable group) である.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/538

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